ویژگی‌های مزدوج ماتریس
- مقطع تحصیلی: عمومی
ویژگی‌های مزدوج ماتریس: برای ماتریسهای مزدوج ویژگی‌های زیر را داریم:
ویژگی ۱. فرض کنید که \(A\) یک ماتریس \(m \times n\) باشد. در اینصورت داریم:
\(\overline{\overline{A}} = A\)
یعنی مزدوج، مزدوج یک ماتریس با خود ماتریس برابر است.
مثال ۱. فرض کنید که \(A = \begin{bmatrix} i & 2i \\ 5i+1 & 3i \end{bmatrix}\) باشد. در اینصورت نشان دهید که \(\overline{\overline{A}} = A\) خواهد بود.
\(A = \begin{bmatrix} i & 2i \\ 5i+1 & 3i \end{bmatrix} \Longrightarrow \overline{A} = \begin{bmatrix} -i & -2i \\ 1-5i & -3i \end{bmatrix} \Longrightarrow \overline{ \overline{A}} = \begin{bmatrix} i & 2i \\ 5i+1 & 3i \end{bmatrix}\)
که در اینصورت \(\overline{\overline{A}} = A\) می‌باشد.
ویژگی ۲. فرض کنید که \(A\) یک ماتریس \( m \times n\) و \(k\) یک عدد مختلط باشد. در اینصورت داریم:
\(\overline{kA} = \overline{k} . \overline{A}\)
مثال ۲. فرض کنید که \(A\) یک ماتریسی باشد که به صورت زیر تعریف شده است و \(k =2i\) باشد. ویژگی ۲ را نشان دهید.
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2i \\ -4i & 0 \end{bmatrix}\)
⇒ \(\overline{A} = \begin{bmatrix} 1 & -2i \\ 4i & 0 \end{bmatrix}\)
⇒ \(kA = \begin{bmatrix} 2i & -4 \\ 8 & 0 \end{bmatrix} \Longrightarrow \overline{kA} = \begin{bmatrix} -2i & -4 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}\)
⇒ \(k=2i \rightarrow \overline{k} = -2i\)
⇒ \(\overline{kA} = \begin{bmatrix} -2i & -4 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}\)
⇒ \(\overline{k} . \overline{A} = (-2i) . \begin{bmatrix} 1 & -2i \\ 4i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2i & -4 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}\)
در نتیجه \(\overline{kA} = \overline{k} . \overline{A}\)
ویژگی ۳. فرض کنید که \(A\) و \(B\) دو ماتریس \( m \times n\) باشند. در اینصورت داریم:
\(\overline{A+B} = \overline{A} + \overline{B}\)
تمرین ۱. فرض کنید که \(A\) و \(B\) ماتریسهایی به شکل زیر باشند. ویژگی ۳ را برای حالت‌های مختلف \(A\) و \(B\) محاسبه کنید.
۱. \( A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{2i+1}{1+i} \\ \frac{3i}{1+2i} & 0 \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 5i(5i+1) & 0 \\ 2(1+i) & 0 \end{bmatrix}\)
۲. \( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & i+1 \\ 2i & 3i & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} \frac{1+i}{2i} & 0 & \frac{1+5i}{2i} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 5i & 3i \end{bmatrix}\)
ویژگی ۴. فرض کنید که \(A\) یک ماتریس از مرتبه \( m \times n\) و \(B\) یک ماتریس از مرتبه \( n \times k\) باشند. در اینصورت داریم:
\( \overline{AB} = \overline{A} \overline{B} \)
تمرین ۲. فرض کنید که \(A\) و \(B\) ماتریسهایی به شکل زیر باشند. در اینصورت ویژگی ۴ را برای آنها بررسی کنید.
\( A = \begin{bmatrix} i & 2i+5 \\ 3i\sqrt{2} & 7i \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} (i+1)^2 & 3i \\ 2i & 5 \end{bmatrix}\)
\( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & i+1 \\ 2 & i & i+1 \\ 2 & 3i & 3i(3i+1) \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 5i \\ 2i & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
ویژگی ۵. فرض کنید که \(A\) یک ماتریس \( m \times n\) باشد. در اینصورت داریم:
\(\overline{A^t} = \overline{A}^t\)
مثال ۳. فرض کنید که \(A\) یک ماتریس به شکل زیر باشد. ویژگی ۵ را بررسی کنید.
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2i & 5 \\ 3i & 7i+1 & 5i \end{bmatrix} \Longrightarrow \overline{A} = \begin{bmatrix} 1 & -2i & 5 \\ -3i & 1-7i & -5i \end{bmatrix} \Longrightarrow \overline{A}^t = \begin{bmatrix} 1 & -3i \\ -2i & 1-7i \\ 5 & -5i \end{bmatrix}\)
\( A^t = \begin{bmatrix} 1 & 3i \\ 2i & 1+7i \\ 5 & 5i \end{bmatrix} \Longrightarrow \overline {A^t} = \begin{bmatrix} 1 & -3i \\ -2i & 1-7i \\ 5 & -5i \end{bmatrix}\)
در نتیجه \( \overline{A^t} = \overline{A}^t\) خواهد بود.
تمرین ۳. برای ماتریسهای زیر و اسکالر \( k = 2i-1\) تمام ویژگی های ۱ تا ۵ را بررسی کنید.
\( A = \begin{bmatrix} i & 5 & i+1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)
\( B = \begin{bmatrix} i & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 5i-1 \\ 2i & 0 & 1 \end{bmatrix}\)