چگونه سری مک‌لورن تابع sin (x) را محاسبه کنیم؟

چگونه سری مک‌لورن تابع $ \sin (x) $ را محاسبه کنیم؟

محاسبه سری مک‌لورن تابع $ \sin (x) $ به سادگی از طریق تعریف انجام می‌شود. بنابراین مشتقات تابع را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم.

روش محاسبه سری مک‌لورن تابع $ \sin (x) $ :

برای محاسبه سری مک‌لورن تابع $ \sin x $ ، ابتدا مقدار تابع را در نقطه $ x=0 $ به دست می‌آوریم. سپس مشتق تابع را گرفته و مقدار مشتق را در نقطه $ x=0 $ محاسبه می‌کنیم. پس از آن به ترتیب مشتق مرتبه دوم و سوم و ... را در نقطه $ x=0 $ محاسبه می کنیم. سپس مقادیر به دست آمده را در فرمول سری مک‌لورن جایگذاری کرده و سری (بسط) مک‌لورن تابع به دست خواهد آمد.

$ f(x) = \sin x \Longrightarrow f (0) = \sin (0) = 0 $

$ f(x) = \sin x \Longrightarrow f^{\prime} (x) =  \cos (x)  \Longrightarrow f^{\prime} (0) =  \cos (0) = 1 $

$ f^{\prime}(x) = \cos (x) \Longrightarrow f^{\prime\prime} (x) = - \sin (x)  \Longrightarrow f^{\prime\prime} (0) = - \sin (0) = 0 $

$ f^{\prime\prime}(x) = - \sin (x) \Longrightarrow f^{(3)} (x) =  -\cos (x)  \Longrightarrow f^{(3)} (0) =  -\cos (0) = -1 $

$ f^{(3)}(x) = - \cos (x) \Longrightarrow f^{(4)} (x) = -(- \sin (x)) = \sin x  \Longrightarrow f^{(4)} (0) =  \sin (0) = 0 $

و به همین ترتیب مشتق مراتب بالاتر در نقطه $ x = 0 $  به صورت زیر تکرار خواهد شد:

$  f^{(5)} (0) = 1  , f^{(6)} (0) = 0  , f^{(7)} (0) = -1  , f^{(8)} (0) = 0  , f^{(9)} (0) = 1  , \cdots  $

بنابراین سری مک‌لورن تابع $ \sin x $ با جایگذاری مقادیر فوق در فرمول، به صورت زیر خواهد بود:

$ \begin{align*}  \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} (0) \frac{x^{n}}{n!} &= f(0) + f^{\prime} (0) x + f^{\prime\prime} (0) \frac{x^{2}}{2!}  + f^{(3)} (0) \frac{x^{3}}{3!} + \cdots \\  &= 0 +  1 \times x +0 \times \frac{x^{2}}{2!}  -1 \times \frac{x^{3}}{3!} +0 \times \frac{x^{4}}{4!} + 1 \times \frac{x^{5}}{5!} \\ & \qquad + 0 \times \frac{x^{6}}{6!} -1 \times \frac{x^{7}}{7!} +0 \times \frac{x^{8}}{8!} + 1 \times \frac{x^{9}}{9!} + \cdots  \\ & = x -\frac{x^{3}}{3!} +  \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} +\frac{x^{9}}{9!} - \cdots   \end{align*} $

بنابراین چندجمله‌ای سری مک‌لورن تابع $ f(x) = \sin x $ به صورت زیر می‌باشد: 

$ \boxed { \sin x = x -\frac{x^{3}}{3!} +  \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} +\frac{x^{9}}{9!} - \cdots = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n+1)!} } $