چگونه سری مک‌لورن تابع sin (x^2) را محاسبه کنیم؟
- مقطع تحصیلی: عمومی
چگونه سری مک‌لورن تابع \( \sin (x^2) \) را محاسبه کنیم؟
محاسبه سری مک‌لورن تابع \( \sin (x^2) \) از طریق تعریف سری مک‌لورن و محاسبه مشتقات هر مرحله، کار بسیار محاسباتی و زمان‌بر و است. بنابراین ما روش زیر را پیشنهاد می‌کنیم. آیا سری مک‌لورن تابع \( \sin x \) را می‌دانید؟ اگر نمی‌دانید ابتدا مطلب « چگونه سری مک‌لورن تابع sin (x) را محاسبه کنیم؟» را مشاهده کنید.
روش محاسبه سری مک‌لورن تابع \( \sin (x^2) \):
برای محاسبه سری مک‌لورن تابع \( \sin (x^2) \) ، از سری مک‌لورن تابع \( \sin x \) استفاده می‌کنیم. در این تابع تغییر متغیر \( x = t^2 \) را قرار می‌دهیم. بنابراین کافی است در سری مک‌لورن تابع \( \sin x \) ، به جای \( x \) ، قرار دهیم \( x^2 \) . بنابراین خواهیم داشت :
\( \begin{align*} \sin (x^2) & = x^2 -\frac{(x^2)^{3}}{3!} + \frac{(x^2)^{5}}{5!} - \frac{(x^2)^{7}}{7!} +\frac{(x^2)^{9}}{9!} - \cdots \\ & = x^2 -\frac{x^{6}}{3!} + \frac{x^{10}}{5!} - \frac{x^{14}}{7!} +\frac{x^{18}}{9!} - \cdots \\ & = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{4n + 2}}{(2n+1)!} \end{align*} \)