نام آزمون: پایانترم گروه های خطی

دانشگاه: صنعتی شریف

دانشکده علوم ریاضی

استاد: دکتر غلامزاده محمودی

نیمسال اول 93-1392

تاریخ برگزاری: 21 دی 1392 (13921021)

وقت ۳ ساعت

دانلود فایل PDF پایانترم (همین آزمون)

در مسایل زیر V یک فضای برداری متناهی البعد روی میدان F از مشخصه مخالف 2، $ b : V \times V \rightarrow F $ یک فرم دوخطی متقارن و ناتبهگون و $ q : V \rightarrow F$ فرم مربعی متناظر با آن است. انعکاس در امتداد بردار آنیزوتروپ $ u \in V $ را با $ t_u $ نشان می‌دهیم.

سؤال ۱. الف) دو فرم دوخطی متقارن و ناتبهگون $ b_1 , b_2 : \mathbb{R} ^ 2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} $ مثال بزنید که آنها را نتوان به طور همزمان قطری کرد.

ب) در حد ایزومورفیسم چند فرم دوخطی متقارن و ناتبهگون روی$ \mathbb{R}^3 $ وجود دارد؟

ج) اگر گروه متعامد فرمهای قسمت قبل را در نظر بگیریم چند گروه دوبدو غیر ایزومورف به دست می‌آید؟

سؤال ۲. الف) تعریف اندیس ویت $ (V,b) $ را نوشته و خوشتعریفی آن را ثابت کنید.

ب) نشان دهید اندیس ویت $ (V,b) $ کمتر یا مساوی $ \tfrac12 \dim V $ است.

سؤال ۳. فرض کنید $ \dim{v} = n $ و $ \sigma \in O(V,b) $ .

الف) اگر $ \sigma $ حاصلضرب حداکثر r انعکاس باشد آنگاه نشان دهید$ \dim Fix(\sigma) \ge n-r $ .

ب) اگر $ Fix(\sigma) $ ناتبهگون باشد نشان دهید $ \sigma $ را می توان به صورت حاصلضرب دقیقا $ s = n - \dim Fix ( \sigma ) $ انعکاس (و نه کمتر) نوشت.

سؤال ۴. روش پیدا کردن مرتبه گروه متعامد $ O(V,b) $ در حالتی که میدان زمینه F یک میدان متناهی باشد را به طور خلاصه تشریح کنید.

سؤال ۵. الف) درستی این حکم را بررسی کنید: شرط لازم و کافی برای این که دو انعکاس $ \tau_u $ و $\tau_v $ با همدیگر جابجا شوند این است که یا u و v وابسظه خطی باشند یا بر هم عمود باشند.

ب) فرض کنید $ { e_1 , \cdots , e_n } $ یک پایه متعامد برای $ (V,b) $ باشد. نشان دهید $ -id = \tau_{e_1} \cdots \tau_{e_n} $ .

ج) نرم اسپینوری $ -id $ را به دست آورید.

سؤال 6. (سوال اختیاری) نشان دهید هر عضو $ O(V,b) $ را می توان به صورت حاصلضرب حداکثر دو برگردان نوشت.

موفق باشید.

دانلود فایل PDF پایانترم (همین آزمون)