میانترم جبرخطی دکتر خشایارمنش 28/2/1385 فردوسی مشهد

به نام خدا

اللهم صل علي محمد و آل محمد

آزمون: ميان ترم جبرخطي

نام استاد: دکتر خشايارمنش

تاريخ برگزاري: 28/2/1385

دانشگاه: فردوسي مشهد

دانشكده: علوم رياضي

رشته: رياضي

1. فرض کنيد . نشان دهيد A معکوس پذير است اگر و فقط اگر براي هر دستگاه A X = Y داراي جواب باشد.

2. فرض کنيد زير فضاهايي از فضاي متناهي البعد V باشند. نشان دهيد داراي بعد متناهي است و

3. ماتريس A به صورت مقابل مفروض است که در آن c عدد حقيقي ناصفري است. در اين صورت :

الف: شرط وجود جواب براي دستگاه A X = Y را بيابيد.

ب: يک پايه براي فضاي سطري A بيابيد.

ج: عدد حقيقي c را چنان بيابيد که فضاي سطري A باشد.

4. فرض کنيد V مجموعه ي تمام ماتريس هاي پادمتقارن باشد. ( يادآوري مي کنيم را پادمتقارن گوييم هرگاه ).

الف: يک پايه براي V بيابيد.

ب: بعد V را بيابيد.

ج: فرض کنيد n = 2 . پايه اي را که براي V در قسمت الف معرفي کرده ايد به پايه اي براي گسترش دهيد.

5. نشان دهيد براي هر ماتريس مانند A روي يک ميدان ، ماتريس ناصفري مانند B موجود است که AB خود توان باشد.

6. فرض کنيد و فرض کنيد چندجمله اي از درجه n باشد.

الف: نشان دهيد يک پايه براي V است که در آن مشتق i ام است.

ب: فرض کنيد و يک پايه براي V باشد. در اين صورت ماتريس معکوس پذير P را چنان بيابيد که براي هر داشته باشيم :

ج: معکوس P را بيابيد.