مقطع تحصیلی: عمومی

لطفاً امتیاز بدهید رای 1 رای 2 رای 3 رای 4 رای 5  

نام آزمون: پایانترم گروه های خطی

دانشگاه: صنعتی شریف

دانشکده علوم ریاضی

استاد: دکتر غلامزاده محمودی

نیمسال اول 93-1392

تاریخ برگزاری: 21 دی 1392 (13921021)

وقت ۳ ساعت

دانلود فایل PDF پایانترم (همین آزمون)

در مسایل زیر V یک فضای برداری متناهی البعد روی میدان F از مشخصه مخالف 2، \( b : V \times V \rightarrow F \) یک فرم دوخطی متقارن و ناتبهگون و \( q : V \rightarrow F\) فرم مربعی متناظر با آن است. انعکاس در امتداد بردار آنیزوتروپ \( u \in V \) را با \( t_u \) نشان می‌دهیم.

سؤال ۱. الف) دو فرم دوخطی متقارن و ناتبهگون \( b_1 , b_2 : \mathbb{R} ^ 2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \) مثال بزنید که آنها را نتوان به طور همزمان قطری کرد.

ب) در حد ایزومورفیسم چند فرم دوخطی متقارن و ناتبهگون روی\( \mathbb{R}^3 \) وجود دارد؟

ج) اگر گروه متعامد فرمهای قسمت قبل را در نظر بگیریم چند گروه دوبدو غیر ایزومورف به دست می‌آید؟

سؤال ۲. الف) تعریف اندیس ویت \( (V,b) \) را نوشته و خوشتعریفی آن را ثابت کنید.

ب) نشان دهید اندیس ویت \( (V,b) \) کمتر یا مساوی \( \tfrac12 \dim V \) است.

سؤال ۳. فرض کنید \( \dim{v} = n \) و \( \sigma \in O(V,b) \) .

الف) اگر \( \sigma \) حاصلضرب حداکثر r انعکاس باشد آنگاه نشان دهید\( \dim Fix(\sigma) \ge n-r \) .

ب) اگر \( Fix(\sigma) \) ناتبهگون باشد نشان دهید \( \sigma \) را می توان به صورت حاصلضرب دقیقا \( s = n - \dim Fix ( \sigma ) \) انعکاس (و نه کمتر) نوشت.

سؤال ۴. روش پیدا کردن مرتبه گروه متعامد \( O(V,b) \) در حالتی که میدان زمینه F یک میدان متناهی باشد را به طور خلاصه تشریح کنید.

سؤال ۵. الف) درستی این حکم را بررسی کنید: شرط لازم و کافی برای این که دو انعکاس \( \tau_u \) و \(\tau_v \) با همدیگر جابجا شوند این است که یا u و v وابسظه خطی باشند یا بر هم عمود باشند.

ب) فرض کنید \( { e_1 , \cdots , e_n } \) یک پایه متعامد برای \( (V,b) \) باشد. نشان دهید \( -id = \tau_{e_1} \cdots \tau_{e_n} \) .

ج) نرم اسپینوری \( -id \) را به دست آورید.

سؤال 6. (سوال اختیاری) نشان دهید هر عضو \( O(V,b) \) را می توان به صورت حاصلضرب حداکثر دو برگردان نوشت.

موفق باشید.

دانلود فایل PDF پایانترم (همین آزمون)

لیست نمونه سوالات دانشگاه صنعتی شریف