دو بردار متعامد
- مقطع تحصیلی: کارشناسی
رای دهی: 4 / 5
تعریف دو بردار متعامد: فرض کنید که x و y دو بردار در فضای ضرب داخلی \(V\) باشند. دو بردار x و y را متعامد گویند، هرگاه ضرب داخلی بین این دو بردار برابر صفر شود، یعنی
\(<x,y> = 0\)
وقتی دو بردار با یکدیگر متعامد هستند، آن را با نماد \(x \bot y\) نمایش می‌دهند.
مثال ۱. آیا دو بردار \( (0,5,1) \) و \( (1,0,0)\) متعامد هستند؟
برای اثبات تعامد بین این دو بردار در فضای \( \mathbb{R}^3\) به گونه زیر عمل می‌کنیم:
در ابتدا ضرب داخلی تعریف شده بر فضای \(\mathbb{R}^3\) را برای دو بردار \(a=(a_1 , a_2 , a_3)\) و \(b=(b_1 , b_2, b_3)\) به صورت زیر بیان می‌کنیم:
\(<a , b>= a_1 . b_1 + a_2 . b_2 + a_3 . b_3\)
با توجه به تعریف ضرب داخلی شرط متعامد بودن دو بردار را بررسی می‌کنیم. لذا داریم:
\((1,0,0).(0,5,1) = 1 \times 0 + 0 \times 5 + 0 \times 1\)
در نتیجه ضرب داخلی این دو بردار صفر است. لذا این دو بردار متعامد یا عمود بر هم هستند.
مثال ۲. برای اینکه دو بردار \((x^2 , -2 , 0) \) و \( (1 , x , 5)\) متعامد باشند. \(x\) چه مقادیری را می‌تواند شامل شود؟
چون دو بردار متعامد هستند، داریم:
\((x^2 , -2 , 0) . (1 , x , 5) = x^2 -2x + 0 \times 5 = 0 \rightarrow x(x-2) = 0 \Rightarrow \begin{cases}x = 0\\ x = -2\end{cases}\)
به ازای هر دو مقدار این دو بردار متعامد خواهند شد.
تمرین ۱. در چه شرایطی برای \(x\) دو بردار \(( x,1, 5x+1) , (2x , 0 , \frac{1}{5})\) متعامد هستند.
تمرین ۲. در چه شرایطی دو بردار \( (x^2 , 1, ,1, 0) \) و \( (x , 2x , 5, 0) \) متعامد خواهند شد.