ترانهاده ماتریس و ویژگی‌های آن
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
تعریف ترانهاده یک ماتریس: ماتریسی که از جابه‌جایی جای عناصر سطر و ستون یک ماتریس حاصل می‌شود را ترانهادهٔ آن ماتریس می‌گویند. یا به عبارت دیگر، فرض کنید \(A=[a_{ij}]\) یک ماتریس از مرتبه \(m\times n \) باشد، ماتریس از مرتبه \( n\times m\) که به وسیله تعویض سطرهای ماتریس A با ستون‌های آن به دست می‌آید را ترانهاده ماتریس A می‌گویند. ترانهاده ماتریس A را با نمادهای \( A^{T} \) یا \( A^{t} \) نشان می‌دهیم. بصورت نمادهای ریاضی می‌توان ترانهاده یک ماتریس را به گونه زیر بیان نمود:
\( A = [a_{ij}]_{m \times n} \rightarrow A^T = [a_{ji}]_{m \times n} \)
مثال ۱. فرض کنید که \( A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix} \) باشد. در اینصورت ترانهاده این ماتریس به صورت زیر خواهد شد:
\( A^{T} = \begin{bmatrix}1 & 5 \\ 2 & 6 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} \)
مثال ۲. فرض کنید \( A = \begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \) باشد، در این صورت \( A^{T} = \begin{bmatrix}5 & 7 \\ 6 & 8 \end{bmatrix} \) خواهد بود. مشاهده می‌شود که در ترانهاده ماتریس‌های مربعی جای عناصر بر روی قطر اصلی در ماتریس ترانهاده با ماتریس اولیه یکی است.
درباره ماتریس ترانهاده ویژگی‌های زیر را داریم:
ویژگی ۱. .\( (A^{T})^{T} = A \) در واقع این موضوع بیان می‌کند که ترانهاده، ترانهاده یک ماتریس با خود آن ماتریس برابر خواهد شد.
مثال۳. \( A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix} \) در این صورت \( A^T= \begin{bmatrix}1 & 5 \\ 2 & 6 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} \) و \( (A^{T})^{T} = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix} \) خواهد بود.
ویژگی 2. \( (A+B)^{T} = A^{T} + B^{T} \). این موضوع بیان می‌کند که ترانهاده خاصیت پخش شدن را دارد.
مثال ۴. \( A = \begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \) و \( B = \begin{bmatrix}8 & 9 \\ 10 & 11 \end{bmatrix} \) در این صورت
\(A^T =\begin{bmatrix}5 & 7\\ 6 & 8\end{bmatrix}\)
\(B^T = \begin{bmatrix} 8 & 10\\ 9 & 11 \end{bmatrix}\)
و داریم:
\( (A+B) = \begin{bmatrix}5 + 8 & 9 + 6 \\ 10 + 7 & 8 +11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}13 & 15 \\ 17 & 19 \end{bmatrix}\)
\((A+B)^T= \begin{bmatrix}13 & 17 \\ 15 & 19 \end{bmatrix} \)
از طرفی \( A^{T} + B^T= \begin{bmatrix}13 & 17 \\ 11 & 19 \end{bmatrix} \) خواهد بود.
ویژگی 3. \( (AB)^{T} = B^{T} A^{T} \).
مثال ۵. \( A = \begin{bmatrix}1 & 5 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \) و \( B = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \) باشد. در اینصورت
\(AB=\begin{bmatrix}1 & 10\\ 0 & 4 \end{bmatrix}\)
\((AB)^T= \begin{bmatrix}1 & 0\\ 10 & 4 \end{bmatrix}\)
و
\(B^T A^T =\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1& 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1&0\\ 10&4\end{bmatrix}\)
ویژگی 4. ماتربس مربعی A وارون پذیر است اگر و فقط اگر \( A^T \) وارون پذیر باشد.
زماني كه ماتربس A وارون پذير است لذا ماتربس Bاي موجود است به قسمي كه داريم \(AB=I\) است. با گرفتن ترانهاده از آن خواهيم داشت:
\( (AB)^T = I \rightarrow B^T A^T = I \)
پس در نتيجه \(A^T\) وارون پذير است. برای زمانی که \(A^T\) وارون پذیر است نیز به صورت مشابه عمل کنید.
ویژگی 5. اگر c یک اسکالر باشد. داریم:
\((cA)^T = cA^T\)
مثال ۶. مفروض است \( A = \begin{bmatrix}1 & 5 \\ 7 & 2 \end{bmatrix} \) و c = 5 .
\( \Longrightarrow A ^ {T} = \begin{bmatrix}1 & 7 \\ 5 & 2 \end{bmatrix} , cA = \begin{bmatrix}5 & 25 \\ 35 & 10 \end{bmatrix} \Longrightarrow (cA)^{T} = cA ^ {T} = \begin{bmatrix}5 & 35 \\ 25 & 10 \end{bmatrix} \)
تمرین ۱. ترانهاده ماتریس‌های زیر را به دست آورید.
۱. \(A=\begin{bmatrix}5 & 25 &0\\ 35 & 10&1 \end{bmatrix} \)
۲. \(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}\) , \(B=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 5 & x \end{bmatrix}\) ⇒ \((AB)^T\)