رای دهی: 5 / 5

لطفاً امتیاز بدهید رای 1 رای 2 رای 3 رای 4 رای 5  

کتاب مبانی ریاضیات

تالیف ایان استیوارت، دیوید تال

ترجمه دکتر محمد مهدی ابراهیمی

مرکز نشر دانشگاهی

بخشی از پیشگفتار کتاب جهت آشنایی:

این کتاب جهت خوانندگانی نوشته شده است که در مرحله گذار از ریاضیات دبیرستانی به نوع کاملاً پخته‌ای از تفکر که خاص ریاضی دانان حرفه‌ای است، هستند؛ برای دانشجویان سال اول دانشگاه‌ها، پلی تکنیک‌ها و کالج‌ها مفید است و نیز برای دیپلمه‌های دبیرستان که قصد ادامه تحصیل در ریاضیات را دارند. برای گروه وسیعتر شامل آنهایی که پایه‌ای در ریاضیات مقدماتی (در سطح دبیرستان) دارند و طالب بصیرت در موضوعات بنیادی و روندهای فکری ریاضی هستند هم جالب است.

اصطلاح «مبانی» که در این کتاب به کار می‌رود، دارای معنایی وسیعتر از معنایش در حرفه‌ی بنایی است. نه فقط ریاضیات را بر پایه این مبانی قرارمی دهیم؛ بلکه مانند سیمان که ساختمان را سرپا نگه می‌دارد و حقیقت از آن ساخته می‌شود، این مبانی هم در تمام سطوح حضور دارند. مبانی ریاضیات، با این تعبیر، غالباً به صورت تمرینی اضافی در زمینه صورتگرایی ریاضی-منطق صوری ریاضی، نظریه صوری مجموعه‌ها، توصیف اصل موضوعی دستگاه‌های اعداد، و ساختن تکنیکیشان- به دانشجویان ارائه می‌شود؛ و همه این‌ها با نمادگذاری ساختگی و استادانه‌ای عرضه می‌شوند.گاهی، به این دلیل که صورتگرایی محض برای دانشجویان تازه کار بسیار مشکل است، ایده ها را به طور «غیرصوری» ارائه می کنیم. در سایر موارد هم عمدتاً این امر صحت دارد ولی با دلیلی کاملاً متفاوت.

.

.

.

این کتاب به چهار قسمت تقسیم شده است تا طرز تفکر مورد نیاز در هر مرحله را مشخص سازد. قسمت I در سطحی غیرصوری، جهت آماده کردن صحنه است. فصل اول با آزمایش خود روند یادگیری، فلسفه زمینه کتاب را عرضه می‌کند. این راه مستقیم و صاف نیست؛ ضرورتاً راهی است ناهموار و سنگلاخی، با راه‌های فرعی و کوچه های بن بست. دانشجویی که این امر را درک کند بهتر می‌تواند با مشکلات روبرو بشود. فصل دوم مفهوم شهودی اعداد حقیقی را به عنوان نقاط روی خط اعداد تحلیل می‌کند، آن را با ایده‌ی اعشاری بی پایان پیوند و اهمیت خاصیت کمال اعداد حقیقی را توضیح می‌دهد.

در قسمت II نظریه مجموعه‌ها و منطق لازم جهت هدف مورد نظر عرضه می‌شود و به ویژه روابط (و به خصوص روابط هم ارزی و روابط ترتیبی) و توابع مورد توجه قرار می‌گیرد. پس از قدری منطق نمادی بنیادی، «اثبات» را مورد بحث قرار می دهیم و تعریفی صوری برایش ارائه می‌کنیم. پس از آن به تحلیل یک اثبات  واقعی می‌پردازیم تا در حد روشنتر کردن جریان کلی اثبات نشان دهیم چطور سبک ریاضی معمول مراحل عادی را در واقع به زمینه ضمنی منتقل می‌کند. هم مزایا و هم خطرات این شیوه نیز مورد بررسی قرار می گیرد.

قسمت III در مورد ساختار صوری دستگاه‌های اعداد و مفاهیم مربوط است. با بررسی اثبات‌های استقرایی که به اصول پئانو مربوط به اعداد طبیعی منجر می شود، آغاز می‌کنیم و نشان می‌دهیم که از این‌ها و با تکنیک‌های نظریه مجموعه‌ها چطور می‌توانیم اعداد صحیح، اعداد گویا و اعداد حقیقی را بسازیم. در فصل بعد نشان می‌دهیم با صوری کردن اعداد حقیقی به عنوان یک میدان مرتب کامل، چگونه می‌توانیم این روند را وارونه کنیم. ثابت می‌کنیم که ساختارهای به دست آمده اساساً یکتا هستند و ارتباط بین ساخت‌های صوری و همتاهای شهودیشان از قسمت I را هم به دست می‌دهیم. سپس به بررسی اعداد مختلط، چهارگان‌ها و ساختهای عمومی جبری و ریاضی می‌پردازیم و با این ترتیب منظره کاملی از ریاضیات پیش پایمان گذاشته می‌شود. بحثی از اعداد اصلی نامتناهی، که از ایده‌ی شمارش منشأ می‌گیرد، ما را در مسیر کارهای پیشرفته‌تر قرار می‌دهد. این مطلب همچنین بیان می‌کند که هنوز کار صوری کردن ایده‌ها کامل نشده است.

قسمت IV به طور مختصر این مرحله آخر را بررسی می‌کند، صورتگرایی نظریه مجموعه‌ها. یک مجموعه‌ی ممکن از اصول موضوع را ارائه می‌کنیم و به بررسی اصل موضوع انتخاب، اصل پیوستار، و قضیه‌های گودل می‌پردازیم.

و ...