لطفاً امتیاز بدهید رای 1 رای 2 رای 3 رای 4 رای 5  

نام آزمون : ميان ترم جبر 1

تاريخ برگزاري : نيمسال اول 76-1375

نام استاد : دكتر كيوانفر

دانشگاه : فردوسي مشهد

دانشكده : علوم رياضي و آمار

1. مفاهيم و اصطلاحات زير را به طور دقيق تعريف كنيد :

عمل دوتايي ، همرده ، گروه دوري ، زير گروه نرمال ، مرتبه ي يك عنصر از گروه، گروه خارج قسمتي، همريختي گروه ها، دور، گروه متناوب، گروه خطي خاص.

2. قضيه ي كيلي را بيان و اثبات نماييد.

3. گروه هاي دوري را تا حد يكريختي چگونه مي توان دسته بندي و توصيف كرد؟ ادعاي خود را با استدلال بيان كنيد.

4. فرض كنيد A و B دو گروه دوري متناهي از مرتبه هاي m و n باشند به طوري كه ثابت كنيد گروه دوري است. آيا شرايط بكار رفته در مسئله ضروري است؟ ادعاي خود را با استدلال نشان دهيد.

5. اگر و آنگاه جايگشت را بدست آوريد.

6. فرض كنيد G يك گروه و H و K دو زير گروه از G باشند به طوري كه و . آيا مي توان نتيجه گرفت كه ؟ در صورت مثبت بودن جواب ادعاي خود را ثابت كنيد و در غير اين صورت با مثالي ادعاي خود را نشان دهيد.

7. آ- اگر G يك گروه و داشته باشيم : . آنگاه ثابت كنيد G آبلي است.

ب – ثابت كنيد هر گروه از مرتبه كوچكتر يا مساوي 5 ، آبلي است.

8. فرض كنيد G يك گروه متناهي و p كوچكترين عدد اولي باشد كه . نشان دهيد هر زيرگروه G از انديس p نرمال است.

9. گروه خارج قسمت را محاسبه كنيد. آيا اين گروه دوري است؟ اين گروه با چه گروه شناخته شده اي يكريخت است؟

10 . فرض كنيد G يك گروه آبلي و كه در آن و و نيز عناصري مانند a و b موجودند به طوري كه  و . ثابت كنيد G دوري است. با مثالي نشان دهيد كه شرط آبلي بودن اساسي است.