حلقه

تعریف حلقه : مجموعه ‎$ A‎\neq ‎‎\emptyset‎‎ $‎‎ ‏‎ ‎را‎ همراه با ‎‎‏‎‏دو‎ عمل دوتایی + ‎‎‎‏ و . ‏در نظر بگیرید. مجموعه A‎ ‏‎ ‎یک‎ حلقه است هرگاه در سه شرط زیر صدق نماید:

۱. A‎‏ ‎‎نسبت‎ به عمل دوتایی جمع یک گروه آبلی باشد، این معنی می‌دهد کهA‎ ‎ ‏در‎ شرایط زیر صدق می‌کند:

• عمل دوتایی جمع بر روی A ‎  شرکتپذیر‎ می‌باشد، یعنی

‎‎$‎‎‎\forall a , b , c ‎\in A , (a +b) + c = a+(b+c)‎‎‎‎‎‎$‎‎‎‎‎‏‎

• ‏عمل دوتایی‎ جمع بر رویA ‎‎  دارای‎ خاصیت جابه‌جایی است، یعنی

‎‎‎‎‎$‎‎‎‎‎\forall‎‏ a , b ‎\in A , a + b = b +a‎‎‎‎$‎

• عمل دوتایی جمع بر روی A دارای عضو همانی است، یعنی

‎$‎‎‎‎‎‏‎\exists 0 \in A , ‎\forall a ‎\in A, a+0=0+a=a‎‎‎$‎‎

• ‏هر عضو در A ‏‎ ‎همراه‎ با عمل دوتایی جمع‎‎ ‎‏دارای ‎عضو‎ وارون است، یعنی

‎‎$‎‎‎\forall a ‎\in A, ‎\exists b ‎\in A, a+b =b+a=0‎‎‎‎$ ‎‎

‎‏۲.‎ ‎A‎‎ ‎‏نسبت‎ به عمل دوتایی ضرب شرکتپذیر است، یعنی

‎‎$‎‎‎\forall a , b , c ‎\in A , (a.b).c = a.(b.c)‎‎‎‎‎‎$‎‎‎‎‎‏‎

۳. عمل دوتایی . ‎‏بر‎ روی عمل دوتایی + پخشپذیر است، یعنی ‎

‎‎$‎‎‎\forall a , b , c ‎\in A , (a +b). c = a.c +b.c‎‎‎‎‎‎$‎‎‎‎‎‏‎ (‏پخشپذیری از راست)

‎$‎‎‎\forall a , b , c ‎\in ‎A,‎ c.(a +b)=c.a + c.b$‎ (‏پخشپذیری از چپ)

مثال ۱. بررسی کنید $(Q , + , .)$ یک حلقه جابه جایی و یکدار می‌باشد؟ 

با توجه به مطلب گروه، می‌دانیم که $(Q , +)$ تشکیل یک گروه آبلی می‌دهد. همچنین می‌دانیم که Q نسبت به ضرب شرکتپذیر است یعنی 

‎‎$‎‎‎\forall a , b , c ‎\in Q , (a.b).c = a.(b.c)‎‎‎‎‎‎$‎‎‎‎‎‏‎

در آخر پخشپذیر بودن عمل دوتایی ضرب بر روی عمل دوتایی جمع را در مجموعه Q مورد بررسی قرار می‌دهیم:

$‎‎‎\forall a , b , c ‎\in Q , (a +b). c = a.c +b.c $‎‎‎‎‎‏‎ (‏پخشپذیری از راست)

‎$‎‎‎\forall a , b , c ‎\in Q,‎ c.(a +b)=c.a + c.b $‎ (‏پخشپذیری از چپ)

مثال ۲.  بررسی کنید مجموعه زیر همراه با عمل‌های دوتایی ذکر شده یک حلقه است؟

$R =\{ f(x)=x^n| n\in \mathbb{Z}\}$

$\forall f(x) , g(x) \in R , f(x)+g(x)=x^n.x^m=x^{n+m} $

$\forall f(x) , g(x) \in R,  f(x).g(x)=fog(x)=f(g(x))=f(x^m)=(x^m)^n= x^{nm}$

برای بررسی نمودن حلقه بودن مجموعه R کافی است، شرایط ذکر شده برای حلقه را تک تک مورد بررسی قرار دهیم. برای این منظور داریم: 

۱. R نسبت به عمل دوتایی جمع تعریف شده در بالا یک گروه آبلی است. لذا داریم:

• R نسبت به عمل دوتایی جمع بسته است. زیرا با توجه به تعریف بالا $x^{n+m}$ دوباره در مجموعه R واقع می‌شود.
• R نسبت به عمل دوتایی دارای عضو همانی یک می‌باشد، زیرا به ازای هر $f(x)$ در مجموعه R داریم: $f(x) + 1 = 1+ f(x)=f(x)$.
• به ازای هر عضوی دلخواه $f(x) =x^n$ که از مجموعه R گرفته می‌شود، عضو منحصر به فردی چون $g(x)$ در R موجود است که داریم:

$f(x)+g(x)= 0=g(x)+f(x)$

        کافی است $g(x)$ را مساوی با $x^{-n}$ در نظر بگیریم. حال کافی است که جا به جایی نسبت به عمل دوتایی جمع را مورد بررسی قرار دهیم. برای این منظور داریم:

$\forall f(x) , g(x) \in R , f(x)+ g(x) =x^{n+m}= x^{m+n}= g(x) + f(x)$

حال بررسی می‌کنیم که R نسبت به عمل دوتایی ضرب شرکتپذیر می‌باشد. لذا داریم:

$\forall f(x) , g(x) \in R , f(x).g(x)= (x^m)^n=(x^n)^m= g(x).f(x)$

و در آخر عمل دوتایی ضرب بر روی جمع پخشپذیر می‌باشد، لذا داریم:

$\forall f(x) , g(x) , h(x) \in R, f(x).(g(x)+h(x)) = x^n.(x^m + x^k)=x^n.(x^{m+k})=(x^{m+k})^n= x^{nm} + x^{nk}=f(x).g(x)+f(x).h(x)$

در نتیجه R نسبت به این دو عمل دوتایی یک حلقه را تشکیل می‌دهد. 

تمرین ۱ . مجموعه ‎$Z_4 =\{ ‎\overline{0} , ‎‎‎‎\overline{1} , ‎‎‎‎\overline{2} , ‎‎‎‎\overline{3}‎‎ \}‎‎‎‎$‎‏ همراه با دو عمل دوتایی تعریف شده به صورت زیر در نظر بگیرید:

‎$‎\forall ‎‎‎‎‎\overline{x} , ‎‎‎‎‎\overline{y} \in Z_4, ‎‎‎‎‎\overline{x} + ‎\overline{y}=‎\overline{x+y}‎ \in Z_4‎‎$‎

‎‎$‎\forall ‎‎‎‎‎\overline{x} , ‎‎‎‎‎\overline{y} \in Z_4, ‎‎‎‎‎\overline{x} . ‎\overline{y}=‎\overline{xy}‎ \in Z_4‎‎$‎

‎‏آیا ‎$ (Z_‎4 ,‎ +‎ ,‎ ‎.)‎ $‎‏ تشکیل یک حلقه را می‌دهد؟

تمرین ۲ . آیا مجموعه زیر نسبت به عمل دوتایی ضرب و جمع ماتریس‌ها تشکیل یک حلقه می‌دهد یا خیر؟

$M_2(R) = \{ A = \left[\begin{array}{c c} a & b\\ c & d \end{array}\right] | a , b , c , d \in R \}. ‎$‎