زيرحلقه

تعریف زیر‎ حلقه: فرض کنید که R‌‌‎ همراه با دو عمل دوتایی + و . تشکیل یک حلقه بدهد. مجموعه $\emptyset \neq S \subset R$ را در نظر بگیرید. مجموعه S را همراه با دو عمل دوتایی + و . تعریف شده بر روی مجموعه R، زیر حلقهای از حلقه R گویند، هرگاه این مجموعه همراه با دو عمل دوتایی حلقه R خود تشکیل یک حلقه بدهد. در واقع مجموعه S همراه با دو عمل دوتایی بر روی مجموعه R کافی است، در شرایط زیر صدق کند:

۱. مجموعه S نسبت به عمل دوتایی + یک گروه جا‌به‌جایی باشد.

۲. مجموعه S نسبت به عمل دوتایی . یک نیمگروه باشد.

۳. بر روی مجموعه S،  عمل دوتایی ضرب بر روی عمل دوتایی جمع پخشپذیر است.

زیرحلقه بودن را با نماد $S\leq R$ نشان می‌دهند.

مثال ۱. حلقه $(\mathbb{Q} , + , .)$ را در نظر بگیرید. نشان دهید که $(\mathbb{Z} , + , .)$ زیرحلقه‌ای از این مجموعه می‌باشد.

با توجه به تعریف زیرحلقه داریم:

۱. $(\mathbb{Z} , + , .)$ تشکیل یک گروه آبلی می‌دهد، زیرا داریم:

• بسته بودن نسبت به عمل دوتایی جمع را داریم. یعنی به ازای هر $a,b \in \mathbb{Z}$ می‌گیریم، $a+b \in \mathbb{Z}$  را داریم. 
•  جابه جایی نسبت به عمل دوتایی جمع را داریم. یعنیبه ازای هر $a,b \in \mathbb{Z}$ می‌گیریم، $a+b = b+a$ را داریم.
• شرکتپذیر بودن نسبت به عمل دوتایی جمع را داریم. یعنی به ازای هر $a,b,c \in \mathbb{Z}$ می‌گیریم،  $(a+b)+c = a+(b+c)$ را داریم. 
• عضوی چون 0 در مجموعه $\mathbb{Z}$ موجود است، که به ازای هر $a \in \mathbb{Z}$ داریم:

$a+0=0+a=a$

• به ازای هر $a \in \mathbb{Z}$، عضوی چون $b=-a \in \mathbb{Z}$ موجود است که داریم:

$ a+(-a) = (-a)+a=0$

۲. $(\mathbb{Z} , .)$ تشکیل یک نیمگروه را می‌دهد. زیرا

• مجموعه $\mathbb{Z}$ نسبت به عمل دوتایی ضرب بسته است، یعنی به ازای هر $a,b \in \mathbb{Z}$ می گیریم، داریم:   $ ab \in \mathbb{Z} $.
• مجموعه $\mathbb{Z}$ نسبت به عمل دوتایی ضرب شرکتپذیر است، یعنی به ازای هر $ a,b,c \in \mathbb{Z} $ می‌گیریم، داریم:   $ (a.b).c = a.(b.c) $.

۳. عمل دوتایی . نسبت به عمل دوتایی + بر روی مجموعه  $\mathbb{Z}$ شرکتپذیر می‌باشد. یعنی داریم:

$ \forall a,b,c \in \mathbb{Z} ; a.(b+c) = a.b + a.c = (b+c).a $

در نتیجه با بررسی سه شرط برای زیرحلقه بودن، نتیجه می‌گیریم که $(\mathbb{Z} , + , .)$ زیرحلقه‌ای از $(\mathbb{Q} , + , .)$ می‌باشد.

قضیه۱. فرض کنید که $ A \neq \emptyset $ زیرمجموعه‌ای از حلقه R باشد. در اینصورت A یک زیرحلقه R است اگر و فقط اگر داشته باشیم:

۱. به ازای هر $ a,b \in A $ می‌گیریم،  $ a-b \in A $ باشد.

۲. به ازای هر $a,b \in A $ مي‌گيريم، $ ab \in A $ باشد.

برهان: برای اثبات این قضیه اینگونه عمل می‌کنیم. ابتدا فرض کنید که A یک زیرحلقه R باشد. با توجه به زیرحلقه بودن A داريم، كه اين مجموعه نسبت به عمل دوتایی جمع و ضرب بسته است، يعني به ازای هر $ a,b \in A $ می‌گیریم داریم $ ab \in A , a+b \in A $ است. همچنین با توجه به زیرحلقه بودن، هر عضو نسبت به عمل جمع دارای وارون جمعی است. لذا اگر $ a \in A $ باشد در نتیجه $ -a \in A $ خواهد بود و این موضوع نتیجه می‌دهد که $ a-b \in A $ خواهد بود. برای اثبات در جهت عکس کافی است، فرض کنید که دو شرط ۱ و ۲ برقرار باشد. لذا نشان مي‌دهیم که زیرمجموعه A از R با این دو شرط تشکیل یک حلقه می‌دهد. پس باید ثابت کنیم که A نسبت به عمل دوتایی جمع یک گروه آبلی است. لذا به ازای هر $ a \in A $ می‌گیریم با توجه به ویژگی ۱ داریم، $ a-a =0 \in A $ خواهد بود. در نتیجه عضو همانی در A موجود است. با توجه به اینکه $ 0\in A $ است، پس به ازای هر $b \in A$ داریم، $ 0-b = -b \in A $ است. در نتیجه هر عضو مجموعه A دارای وارونی در مجموعه A است. برای بررسی دو ویژگی دیگر گروه آبلی بودن داریم، چون این دو ویژگی بر روی R برقرار است بر روی A هم برقرار خواهد شد. این موضوع را به عنوان یک تمرین بررسی کنید.

تمرین ۱. آیا $ (2Z , + , . ) \leq (Z , + , . ) $ یک زیرحلقه است؟

تمرین ۲. آیا مجموعه $ A_{n \times n} = [F] = \{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} | a,b,c,d \in F , ad - bc \neq 0 \} $ زیرحلقه‌ای از $ M_{n \times n} (F) $ می‌باشد؟

تمرین ۳. فرض کنید که A مجموعه تمام توابع حقيقي و B مجموعه تمام توابع دوسويي باشند. ثابت كنيد كه مجموعه B همراه با دو عمل دوتایی تعريف شده به صورت زير يك زيرحلقه از مجموعه A مي‌باشد؟

$ (f+g) (x) = f(x) + g(x) $

$f.g(x) = fog(x)$

که در آن o نماد ترکیب توابع است.