معادله دیفرانسیل کلرو : دسته دوم معاملات خطی شدنی

معادلات کلرو

معادلات کلرو جزء معادلات خطي شدني هستند.

شکل کلي يک معادله ديفرانسيل کلرواين گونه است :

چگونگي حل معادله کلرو

براي حل اين معادلات، تغيير متغير را انتخاب مي کنيم و در معادله ي قرار مي دهيم :

با فرض اينکه موجود باشد، از نسبت به x مشتق مي گيريم :

از معادله ي ، دو نتيجه مي توان گرفت : يا

1 . اگر باشد آنگاه p عدد ثابتي است. در معادله ي قرار مي دهيم p = c . خواهيم داشت :

که نيز يک مقدار ثابت مانند است. پس

معادله ي ، معادله ي دسته خطوط در صفحه است و جواب ِ عمومي معادله ي مي باشد.

2 . اگر آنگاه . که با قرار دادن آن در معادله ي خواهيم داشت :

بنابراين معادله پارامتري

را براي x و y خواهيم داشت که p پارامتر آن است. در اين صورت سه حالت پيش خواهد آمد :

الف : اگر مقدار ثابتي باشد ، آنگاه صفر است و نقطه ي جواب است.

ب : اگر تابعي خطي از p باشد ، آنگاه ، مقدار ثابتي است و جواب است که به صورت دسته خطوط است.

پ : اما اگر هيچ کدام از موارد الف و ب نباشد

معادله ي پارامتري يک منحني در صفحه است و اين منحني جواب است . چون اين جواب در حالت کلي يک خط مستقيم نيست، پس جواب ِ غير عادي ِ معادله ي است.

نکته : منحني ، منحني ِ پوش ِ دسته خطوط ِ است يعني بر همه ي خطوط ِ مماس است.

مثال 21.2 : جواب عمومي و غيرعادي معادله ي را به دست آوريد.

حل : قرار مي دهيم و از معادله نسبت به x مشتق مي گيريم :

اکنون دو حالت داريم :

1 . اگر پس p = c و جواب عمومي به صورت زير است :

2 . اگر پس منحني

جواب غير عادي معادله است که به صورت ضمني چنين است :