معادله دیفرانسیل همگن

[tabs] [tab_item title="تابع همگن دو متغیره"]

 

تعريف تابع همگن دو متغيره:

تابع را تابع همگن ِ مرتبه ي n گوييم هرگاه براي هر t داشته باشيم

به شرط اينکه نقاط در دامنه ي تابع باشند.

 

[/tab_item] [tab_item title="ویژگی‌های تابع همگن"]

ويژگي هاي تابع همگن:

اگر توابع و ، همگن مرتبه ي n باشند، آنگاه توابع همگن مرتبه ي n و تابع همگن مرتبه ي 2n و تابع ، با شرط ، همگن مرتبه ي صفر است.

اثبات اين ويژگي ها ساده است و تنها با بکار بردن تعريف به دست مي آيد. براي نمونه نشان مي دهيم که تابع خارج قسمت، همگن مرتبه ي صفر است.

اکنون آمادگي پذيرش مفهوم معادله ديفرانسيل ِ همگن هستيم :

[/tab_item] [tab_item title="معادله دیفرانسیل همگن"]

 

تعريف معادله ديفرانسيل همگن:

اگر توابع ، در معادله ديفرانسيل مرتبه اول ِ

توابعي همگن ِ همدرجه ، مثلا ً از درجه ي n باشند، آنگاه گوييم معادله معادله ديفرانسيل همگن مرتبه ي n است.

اين تعريف همسنگ تعريف زير است :

معادله ي

يک معادله ديفرانسيل همگن است اگر تابع ، همگن از درجه ي صفر باشد.

[/tab_item] [tab_item title="نکته"]

نکته 2.2: هر تابع ثابت، يک تابع همگن از مرتبه ي صفر است ولي عکس آن درست نيست. يعني توابع همگن مرتبه ي صفر ، لزوما ً ثابت نيستند. براي نمونه تابع

همگن مرتبه ي صفر است که ثابت نيست.

[/tab_item] [tab_item title="روش حل معادله همگن"]

 

چگونگي حل معادله همگن:

معادلات همگن ، با يک تغيير متغير مناسب ، به معادلات جداپذير تبديل مي شوند. پس مي توانستيم اين معادلات را در دسته ي معادلات جداپذير شدني قرار دهيم؛ اما چون معادلات همگن شکل ونام ويژه اي دارند و حتي دسته اي از معادلات همگن شدني هستند، آن ها را جداگانه بررسي مي کنيم.

معادله همگن را در نظر بگيريد. به ياد داريم که تابع ، همگن از مرتبه ي صفر است. پس براي هر t داريم :

اکنون اگر به t مقدار ويژه ي را نسبت دهيم ، يعني قراردهيم ، معادله ي به صورت زير تبديل مي شود:

اکنون تغيير متغير را انتخاب مي کنيم. داريم :

و همچنين

 

اکنون در رابطه ي ، از رابطه هاي و مقدار مي گذاريم :

که معادله ي ، يک معادله جداپذير استاندارد بر حسب x و z است که در قسمت هاي قبل چگونگي حل آن را آموختيم. پس از حل به جاي z ، مقدار آن يعني را قرار مي دهيم و معادله حاصل را مرتب مي کنيم.

به مثال زير توجه کنيد.

[/tab_item] [tab_item title="مثال"]

مثال 9.2: ابتدا نشان دهيد معادله ي يک معادله همگن است و سپس جواب عمومي آن را بيابيد.

حل: در اين مثال و هر دو ، توابعي همگن مرتبه ي اول هستند، پس معادله داده شده همگن است.

با قرار دادن داريم:

و y = z x ، پس:

بنابراين:

اکنون قرار مي دهيم :

که اين جواب عمومي معادله داده شده است.

 

[/tab_item] [/tabs]