معکوس تبدیل لاپلاس
رای دهی: 4 / 5
معکوس تبدیل لاپلاس
یافتن تبدیل لاپلاس یک تابع با داشتن جدول تبدیلات لاپلاس که در بخش های قبل سایت ریاضیات ایران دیدید، کار پیچیده ای نیست. در این درس می‌خواهیم ببینیم اگر یک تبدیل لاپلاس داده شده باشد، می‌توانیم تابع یا تابع‌های اولیه این تبدیل را بیاییم یا خیر؟ همانطور که خواهیم دید این کار امکانپذیر است ولی کمی پیچیده تر از محاسبه تبدیل لاپلاس است.
در این حالت می‌گوییم تبدیل معکوس لاپلاس 
را می‌یابیم و از نوشتار زیر استفاده می‌کنیم :
اکنون ببینیم برای محاسبه معکوس تبدیل لاپلاس از چه قضایا و قواعدی می‌توانیم استفاده کنیم. اولین قضیه همان قضیه ترکیب خطی معکوس‌ها است که مانند لاپلاس ترکیب خطی توابع می‌باشد. یعنی اگر
و
در این صورت خواهیم داشت
مثالهای زیر را دنبال کنید. در این درس سه مثال ساده تر آورده شده و در درس بعدی مثالهای پیشرفته تری را تقدیم خواهیم کرد تا شما با چگونگی محاسبه لاپلاس معکوس آشنا شوید.
مثال ۱: تبدیل معکوس لاپلاس زیر را بیایید.
حل: با نگاهی به جدول تبدیلات لاپلاس، این مسأله را حل می‌کنیم. در صورت کسر اول، عدد ثابت ۶ قرار دارد. از این عدد فاکتور می‌گیرم تا بتوانیم از فرمول ردیف ۱ (لاپلاس عدد ثابت) استفاده کنیم. در کسر دوم، مخرج به صورت s-a است. پس می‌توان از ردیف 2 استفاده کنیم. در کسر چهارم نیز با فاکتورگیری از عدد موجود در صورت کسر، از فرمول ردیف ۲ استفاده می‌کنیم. بنابراین داریم
مثال ۲: تبدیل معکوس لاپلاس زیر را بیایید.
حل: اگر در جمله اول قرار دهیم a=-1 ، شبیه لاپلاس تابع نمایی می‌شود، سپس از عدد ۱۹ صورت فاکتور می‌گیرم. جمله دوم تقریباً شبیه لاپلاس تابع نمایی است، مگر اینکه عبارت 3 s در مخرج تبدیل به s گردد که این کار به راحتی با فاکتورگیری از عدد ۳ در مخرج انجام می‌شود. به نظر می‌رسد مخرج عبارت سوم با قرار دادن n=4 شبیه ردیف ۳ جدول تبدیلات لاپلاس است، اما صورت کسر آنچه می‌خواهیم نیست که با ضرب و تقسیم کل کسر در عدد
مشکل حل می‌شود . پس خواهیم داشت:
اکنون می‌توانیم به راحتی از هر جمله لاپلاس معکوس بگیریم. داریم :
مثال ۳: تبدیل معکوس لاپلاس زیر را بیایید.
حل: در این مثال، کسرها دارای مخرج یکسان هستند و جدول تبدیلات لاپلاس به ما می‌گوید از ردیف ۷ یا ۸ می‌توانیم استفاده کنیم. در اینجا صورت هر کسر تعیین می‌کند که از کدام فرمول استفاده کنیم. کسر اول که در صورت آن s وجود دارد نشان دهنده آن است که از ردیف ۸ استفاده کنیم. کسر دوم فقط یک عدد در صورت دارد که نشان می‌دهد استفاده از ردیف ۷ صحیح است. برای این منظور باید صورت و مخرج کسر را در ۵ ضرب کنیم تا به شکل متعارف در آید. ببینید:
بنابراین اکنون می‌توانیم معکوس لاپلاس بگیریم، داریم:
