ميدان
- مقطع تحصیلی: کارشناسی
رای دهی: 5 / 5
تعریف میدان: مجموعه \(A \neq \emptyset \)را همراه با دو عمل دوتایی + و . را در نظر بگیرید. مجموعه A همراه با این دو عمل دوتایی تشکیل یک میدان را می‌دهد هرگاه در شرایط زیر صدق کند:
۱. هرگاه مجموعه A نسبت به دو عمل دوتایی + و . بسته باشد، به عبارت دیگر داریم:
\( \forall x , y \in A , x.y \in A , x+y \in A \)
۲. هرگاه دو عمل دوتایی + و . بر روی مجموعه A جا به جایی باشد، به عبارت دیگر داریم:
\( \forall x , y \in A , x+y = y+x \)
۳. هرگاه عمل دوتایی + بر روی مجموعه A شرکتپذیر باشد، به عبارت دیگر داریم:
\( \forall x,y,z \in A, (x+y) + z = x+(y+z)\)
۴. مجموعه A نسبت به عمل دوتایی + دارای عضو همانی است، به عبارت دیگر داریم:
\( \exists 0_{A} \in A , \forall a \in A , a+0_A = 0_A + a = a \)
۵. هرگاه هر عضو از مجموعه A دارای عضو وارون منحصر به فرد باشد، به عبارت دیگر داریم:
\( \forall a \in A , \exists b \in A , a+b = b+a = 0_A \)
۶. نسبت به عمل دوتایی ضرب جا به جایی باشد، به عبارت دیگر داریم:
\( \forall x,y \in A , x.y = y.x \)
۷. نسبت به عمل دوتایی ضرب شرکتپذیر باشد، به عبارت دیگر داریم:
\( \forall x,y,z \in A , (x.y)z = x(y.z) \)
۸. عضو منحصر به فردي چون \(1_A \in A\) موجود باشد به گونه ای که به ازای هر \( a \in A \) می‌گیریم داشته باشیم:
\( 1_A . a = a . 1_A = a \) .
۹. به ازای هر عضو \( a \in A \) عضو منحصر به فردی چون b موجود باشد که نسبت به عمل دوتایی ضرب داشته باشیم:
\( \forall a\in A, \exists b\in A, a.b = b.a = 1_A \)
۱۰. به ازای هر \( x,y,z \in A \) می‌گیریم عمل دوتایی ضرب بر روی عمل دوتایی جمع پخشپذیر باشد.
\( x . ( y+z ) = x.y + x.z \)
\( ( y+z ) . x = y.x + z.x \)
در نتیجه هر مجموعه ای که در ۱۰ شرط بالا صدق کند یک میدان می‌باشد.
مثال. آیا اعداد گویا با دو عمل دوتایی + و . تعریف شده به صورت زیر تشکیل یک میدان را می دهد؟
\( \forall \frac{a}{b}, \frac{c}{d} \in Q\longrightarrow \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+ bc}{bd} \)
\( \forall \frac{a}{b}, \frac{c}{d} \in Q\longrightarrow \frac{a}{b} . \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \)
برای اینکه ببینیم \( (Q, +, .) \) تشکیل یک میدان می‌دهد یا خیر، كافي است ۱۰ شرط بالا را برای میدان بودن بررسی کنیم.
۱. مجموعه نسبت به دو عمل دوتایی جمع و ضرب بسته است، زیرا حاصل جمع دو عدد گویا، عددی به صورت \( \frac{ad + bc}{bd} \) است که خود یک عدد گویا است. پس نسبت به عمل دوتایی جمع بسته و با توجه به اینکه نسبت به عمل دوتایی ضرب، حاصل عبارت \( \frac{ac}{bd} \) است که خود یک عدد گویا است، پس نسبت به ضرب هم بسته خواهد بود.
۲. می توان به راحتی بیان نمود که \((Q , +)\) یک گروه آبلی است.
۳. همچنین می توان دید که \((Q , .)\) هم یک گروه آبلی است.
۴. برای اتمام اثبات این موضوع که \((Q , + , .)\) یک میدان است، کافی است پخشپذیر بودن \((Q , + , .)\) را نشان دهیم.
\( \forall \frac{a}{b} , \frac{c}{d} , \frac{e}{f} , \in Q \longrightarrow \frac{a}{b} . (\frac{c}{d} + \frac{e}{f}) = \frac{a}{b} . ( \frac{cf + ed}{df} ) = \frac{acf + aed}{bdf} = \frac{ac}{bd} + \frac{ae}{bf} = \frac{a}{b} . \frac{c}{d} + \frac{a}{b} . \frac{e}{f} \)
لذا \((Q , + , .)\) یک میدان می‌باشد.
تمرین. آیا مجموعه اعداد مختلط همراه با دو عمل دوتایی جمع و ضرب تعریف شده به صورت زیر تشکیل یک میدان می‌دهد؟
\( \forall a+bi , c+di \in C \longrightarrow (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (bc + ad)i \)
\( \forall a+bi , c+di \in C \longrightarrow (a+bi)+(c+di) = (a+c) + i(b+d) \)