رای دهی: 5 / 5

لطفاً امتیاز بدهید رای 1 رای 2 رای 3 رای 4 رای 5  

گاهي اوقات دانش آموزان ناخواسته ايده هايي را براي دريافت ويژگي هاي رياضيات به ما معرفي مي کنند.

اغلب ديده ايم که آنها کارهايي را که از نظر رياضيات تماما ً اشتباه است ، انجام مي دهند و در کمال شگفتي به جواب هاي صحيح مي رسند. اين شگفتي باعث مي شود دانش آموزان کار اشتباهشان را تصديق و تکرار کنند چرا که نتيجه ي درستي دربر داشته است.

يکي از رايج ترين ِ اين اشتباهات در ساده کردن کسرها مشاهده مي شود که در اين مطلب به آن مي پردازيم. به کسرهاي زير دقت کنيد :

اگر شما کسر هاي را ساده کنيد با کمال شگفتي مي بينيد که همان کسر هاي بالا به دست مي آيند. واقعا ً شگفت آور است!

شگفت آورتر آن است که بدانيد اين 4 کسر و اين اعداد دورقمي، تنها اعداد دورقمي هستند که اين ويژگي را دارند. البته تمام کسرهاي دو رقمي که با مضارب 11 ساخته مي شوند، مانند نيز اين ويژگي را دارند که به آن ها کسرهاي بديهي مي گوييم. اما منظور ما کسرهاي غير بديهي ( کسرهايي که حاصل آن ها مخالف 1 است) را مورد بررسي قرار مي دهيم.

اکنون نشان مي دهيم که چگونه ميتوان اين اعداد را به دست آورد و چرا اين اعداد تنها اعداد با اين ويژگي هستند.

به ياد داريم که اگر a ، x و y سه رقم ( عدد يک رقمي ) باشند، اعداد دورقمي ِ xa و ay اين گونه نمايش داده مي شوند :

نمونه وار اگر a=2 و x=3 و y=4 باشد آنگاه

اکنون کسر را تشکيل مي دهيم. به اين ترتيب

با الگوي پيشنهادي بالا بايستي پس از ساده کردن ِ a از صورت و مخرج ، به کسر برسيم يعني

بنابراين بايد داشته باشيم

x و a و y ارقام صحيح هستند زيرا از ابتدا آن ها را رقم انتخاب کرده بوديم. اکنون وظيفه داريم x و a را به گونه اي انتخاب کنيم که y نيز يک رقم صحيح شود. براي دوري از محاسبات جبري بسيار، مي توانيم جدولي به صور زير بسازيم و در آن به ازاي مقادير مختلف a و x ، مقدار y را از فرمول به دست آورده و در خانه هاي متناظر جدول قرار دهيم.

به دست آوردن ديگر اعداد جدول بهعهده ي شماست تا مطمئن شويد 4 عدد مشخص شده تنها اعداد مناسب براي y هستند.

از جدول بالا مشاهده مي شود که اگر x و a به ترتيب 1 و 6 باشد آنگاه y برابر با 4 خواهد بود که در شرايط دلخواه صدق کند و اگر x و a به ترتيب 2 و 6 انتخاب شوند، y برابر با 4 خواهد شد که کسر هاي و را تشکيل مي دهند.

همچنين اگر x و a به ترتيب 1 و 9 باشد آنگاه y برابر با 5 و اگر4 و 9 انتخاب شوند، y برابر با 4 خواهد شد که کسر هاي و به دست مي آيند. به اين ترتيب اين جدول ما را متقاعد مي کند که تنها 4 کسر ذکر شده داراي اين ويژگي هستند.

شايد بيش از اين ها شگفت زده شويد اگر بدانيد که اين روش عجيب و غريب خط زدن ارقام ( ساده کردن ) براي بعضي کسر هاي با صورت و مخرج بيش از دو رقم نيز برقرار است. نمونه وار درکسر مي توانيد اين گونه ساده کردن را امتحان کنيد که به نتيجه ي زير خواهيد رسيد:

خيلي زود دانش آموزان و دانشجويان مشتاق خواهند گفت که اين کسر ها يا به بيان ديگر اين اشتباه خنده آور را مي توان به صورت زير گسترش داد :

در پايان براي آن دسته از علاقه منداني که آرزو دارند با کسرهاي بيشتري که داراي اين ويژگي شگفت هستند آشنا شوند، کسرهاي زير را معرفي مي کنيم. اين عزيزان بايستي درستي ِ اين کسرها را تحقيق و تصديق کنند و براي کشف کسرهاي بيشتري از اين قبيل تلاش کنند.