ميانترم جبرخطي دكتر چيتي 25/2/1386 دانشگاه فردوسي مشهد

نام آزمون : ميانترم جبرخطي

نام استاد : دكتر چيتي

تاريخ برگزاري : 25/2/1386

دانشگاه : فردوسي مشهد

دانشكده : علوم رياضي و آمار

1. اگر A يك ماتريس بر روي F باشد آنگاه ثابت كنيد A هم ارز ماتريس هماني است اگر و تنها اگر دستگاه همگن AX = 0 فقط داراي جواب بديهي باشد.

2. آ ) ثابت كنيد اگر يك ماتريس مربع داراي يك وارون چپ يا يك وارون راست باشد، وارون پذير است.

ب ) فرض كنيد كه در آن ماتريس هاي مربع هستند. در اين صورت ثابت كنيد A وارون پذير است اگر و فقط اگر هر وارون پذير باشد.

3. فرض كنيد V يك فضاي برداري بر روي ميدان F باشد، ثابت كنيد هر زيرمجموعه ي مستقل خطي درV قابل گسترش به يك پايه براي V مي باشد. ( بعد V متناهي است.)

4. فرض كنيد A يك ماتريس باشد. ثابت كنيد :

آ ) اگر A وارون پذير باشد و براي يك ماتريس مانند B كه AB = 0 آنگاه B = 0 .

ب ) اگر A وارون پذير نباشد آنگاه يك ماتريس مانند B موجود است به طوري كه ولي AB = 0 .

5. ثابت كنيد كه مجموعه ي پايه اي براي فضاي برداري V است اگر و تنها اگر بردارهاي اين مجموعه فضاي V را توليد كنند ولي هيچ زيرمجموعه ي سره ي آن V را توليد نكند.

6. فرض كنيد V يك فضاي برداري با بعد متناهي n بر روي ميدان F باشد و نيز دو زيرفضاي برداري V باشند به طوري كه و . در اين صورت ثابت كنيد .

7. اگر A ماتريس داده شده در زير باشد ، اولا ً ماتريس وارون پذير P و ماتريس تحويل شده ي سطري پلكاني R را چنان بيابيد كه R = PA . ثانيا ً با چه شرايطي دستگاه AX = Y داراي جواب است . ثالثا ً پايه اي براي فضاي جواب دستگاه همگن AX = 0 بنويسيد.