جبر خطی دکتر خشایار منش 2/3/1385 فردوسی مشهد

نام آزمون : جبر خطی

تاریخ برگزاری : 1385/3/2

نام استاد : دکتر خشایار منش

دانشگاه : فردوسی مشهد

دانشکده : علوم ریاضی

۱. فرض کنید S یک زیر مجموعه مستقل خطی از فضای V‌ باشد در این صورت نشان دهید V شامل زیر مجموعه مستقل خطی ماکزیمال است که شامل S می باشد.( توجه شود V ضرورتا ً متناهی البعد نیست.)

۲. نشان دهید اگر تحویل یافته سطری باشد و R دارای r سطر نا صفر باشد که r < n آنگاه دستگاه RX=0 دارای جواب غیر بدیهی است.

۳. فرض کنید c عددی مختلط و باشد. ماتریس مقابل را در نظر می گیریم:

الف - در چه صورت A معکوس پذیر است.

ب - در حالت c=i معکوس A را بیابید.

۴. اگر A و B ماتریس های بوده و I-AB پذیر باشد آنگاه ثابت کنید I-BA نیز معکوس پذیر است. معکوس آن را بیابید.

۵. الف - یک پایه برای مجموعه ماتریس های متقارن روی بیابید. بعد این فضا را محاسبه کنید.

ب - اگر n=2 آنگاه پایه قسمت قبل را به یک پایه برای گسترش دهید.

۶. فرض کنید پایه های زیر را برای V نظر می گیریم.

دراین صورت ماتریس معکوس پذیر راچنان بیابید که برای هر داشته باشیم معکوس P را بیابید.