حاصلضرب ماتریس ها
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
تعریف ضرب ماتریس دو ماتریس: فرض کنیم \( A = [a_{ij}]_{m \times n} \) و \( B = [b_{ij}]_{n \times k} \) دو ماتريس باشند. حاصلضرب ماتریس A در ماتریس B برابر با ماتریس \( C = [ c_{ij} ] \) از مرتبه \(m \times k\) است که آن را با نماد AB نشان می‌دهیم و به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
\( C_{ij} = \sum_{r=1}^{n} {a_{ir}b_{rj}} \forall 1 \leq i \leq m , 1 \leq j \leq n \)
تعریف ریاضی بالا بیان می‌کند، برای به دست آوردن درایه ijام ماتريس C کافی است، سطر iام ماتريس A را در ستون jام ماتريس B ضرب کنید. شکل زیر کمک شایانی به درک هرچه بهتر این موضوع خواهد نمود.
مثال ۱. ضرب ماتریس زیر را به دست آورید.
۱. \( A = \begin{bmatrix}1 & -i & 1 \\ i & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \) , \( B = \begin{bmatrix}0 & -i & 2 \\ 5 & 0 & 3i \\ i+1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \)
با توجه به تعریف بالا برای ضرب ماتریس‌ها داریم:
\( A.B= \begin{bmatrix}1 & -i & 1 \\ i & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & -i & 2 \\ 5 & 0 & 3i \\ i+1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix}1\times0-i\times 5 + 1\times (i+1) &1\times(-i)+0\times (-i)+1\times 3 & 1\times 2 +(-i)\times 3i + 1\times 2\\ i\times 0+0\times 5+3\times (i+1) & i\times (-i)+0+3\times 3 & i\times 2+0\times 3i+3\times 2 \\ 1\times 0+3\times 5+2\times (i+1) & 1\times (-i)+3\times 0+2\times 3 & 1\times 2+3\times 3i+2\times 2 \end{bmatrix} \)
\(= \begin{bmatrix}4i+1 & -i+3 & 4 \\ 3i+3 & 10 & 6+2i \\ 2i+17 & 6-i& 6+9i\end{bmatrix}\)
نکته ۱. زمانی می‌توانید ماتریس A را در ماتریس B ضرب کنید که تعداد ستون‌های ماتریس A با تعداد سطرهای ماتریس B برابر باشد.
از شکل بالا متوجه خواهید شد که دو ماتریس زیر قابل ضرب شدن نیستند، زیرا با توجه به تعریف ضرب ماتریسی حتما باید تعداد ستون‌های ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشند.
مثال ۲. حاصلضرب ماتریس‌های زیر را بدست آورید.
۱. \( A = \begin{bmatrix}1 & 5 & 7 \\ 8 & 9 & 2 \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)
⇒ \(AB= \begin{bmatrix}1 & 5 & 7 \\ 8 & 9 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}1 & 2+5+7 \\ 8 & 16+9+2 \end{bmatrix}\) ⇒ \(\begin{bmatrix}1 & 14 \\ 8 & 27 \end{bmatrix}\)
۲. \( A = \begin{bmatrix} 5 & 7 \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 8 & 9 \end{bmatrix} \)
با توجه به نکته ۱، باید تعداد ستون‌های ماتریس A با تعداد سطرهای ماتریس B یکسان باشد. اما همانطور که مشاهده می‌کنید تعداد ستون‌های ماتریس A برابر با ۲ و تعداد سطرهای ماتریس B برابر با ۱ می‌باشد. در نتیجه با توجه به نکته ۱، دو ماتریس فوق قابل ضرب شدن نمی‌باشند.
۳. \( A = \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)
⇒ \( AB = \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 14\\ 2 & 6 \end{bmatrix}\)
تعریف توان یک ماتریس: فرض کنید که A یک ماتریس\( n \times n \) باشد. در این صورت توان kام ماتریس A به این معنی است که kبار ماتریس A را در خودش ضرب نمایید.
\( A \times ... \times A = A^{k} \)
مثال ۳. توان سوم ماتریس مربعی زیر را به دست آورید.
\(A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\)
\(A^3= A.A.A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+4 & 2+4 \\ 2+4 & 4+4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\)
⇒ = \(\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 17 & 22 \\ 22 & 28 \end{bmatrix}\)
نکته ۲. دقت کنید که دو ماتریس مربعی هم مرتبه A و B، نسبت به ضرب ماتریسی خاصیت جابه‌جایی ندارند.
مثال ۴. بررسی کنید که رابطه AB=BA نسبت به ضرب ماتریسی برقرار نمی‌باشد؟
برای این منظور کافی است که دو ماتریس مثال بزنید که این موضوع را نقض کند. دو ماتریس زیر را در نظر بگیرید:
\(A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} , B=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
⇒ \(AB= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)
⇒ \(BA= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1& 1\end{bmatrix}\)
در نتیجه ضرب ماتریسی دارای خاصیت جابه‌جایی نمی‌باشد.
تمرین. حاصلضرب ماتریس‌های زیر را در صورت امکان به دست آورید.
1. \( A=\begin{bmatrix} 5 & 1 & 0\\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} , B= \begin{bmatrix} 8 & 1 \\ 1& 1\end{bmatrix}\)
۲. \( A=\begin{bmatrix} a & b \\ 2 & c \end{bmatrix} , B= \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 1 \\3 & q \end{bmatrix}\)