تعریف گروه، مثال ها و تمرین
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
تعریف گروه: مجموعه \(G \neq \emptyset\) را در نظر بگیرید. عمل دوتایی * بر روی مجموعه G که دارای شرایط زیر باشد را یک گروه گویند:
۱- عمل دوتایی * بسته باشد، یعنی
\(\forall (a,b) \in G \times G, a * b \in G\)
۲- عمل دوتایی * شرکت پذیر باشد، یعنی
\(a , b, c \in G, (a * b)*c = a * (b*c)\)
۳-عمل دوتایی * دارای عضو خنثی یا همانی باشد. یعنی عضو منحصر به فردی چون e موجود باشد که به ازای هر عضو \(a \in G\) داشته باشیم:
\( a * e = e * a = a \)
۴- عمل دوتایی * دارای عضو وارون باشد. یعنی به ازای هر عضو \( a \in G \) که می‌گیریم، عضو منحصر به فردی چون \( b \in G \) موجود باشد به قسمی که
\( a * b = b * a = e\)
مثال ۱. مجموعه اعداد صحیح را به همراه عمل دوتایی زیر در نظر بگیرید.
\( + : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \)
\( (a,b) \rightarrow a+b \)
در این صورت \( \mathbb{Z} \) همراه با عمل دوتایی جمع معمولی یک گروه را تشکیل می‌دهد. زیرا با بررسی چهار شرط گروه بودن خواهیم داشت:
۱.\( \mathbb{Z} \) همواره با عمل دوتایی جمع معمولی بسته است، زیرا به ازای هر \( a,b \in \mathbb{Z} \) بگیریم مجموع دو عدد صحیح، صحیح خواهد بود.
۲. \( \mathbb{Z} \) همراه با عمل دوتایی جمع معمولی شرکت پذیر می باشد، زیرا به ازای هر \( a,b,c \in \mathbb{Z} \) بگیریم \( (a+b)+c = a+(b+c) \).
۳.\( \mathbb{Z} \) نسبت به عمل دوتایی جمع دارای عضو همانی منحصر به فردی چون صفر است که به ازای هر \(a \in \mathbb{Z}\) داریم \( a + 0 = 0 + a =a \) .
۴. هر عضو \( \mathbb{Z} \) نسبت به عمل دوتایی جمع دارای عضو وارون منحصر به فرد است، یعنی
\( \forall a \in \mathbb{Z}, \exists b \in \mathbb{Z}, a+b = b+a = 0 \)
کافی است \(b = -a\) در نظر بگیریم. با توجه به بررسی شرایط بالا، \( \mathbb{Z} \) نسبت به عمل دوتایی جمع معمولی یک گروه خواهد بود. از آنجایی که \( \mathbb{Z} \) نسبت به عمل دوتایی جمع معمولی جا به جایی نیز می‌باشد، پس گروه تشکیل شده یک گروه آبلی خواهد بود.
مثال ۲. آیا مجموعه اعداد طبیعی نسبت به عمل دوتایی جمع معمولی یک گروه است؟
از آنجایی که صفر متعلق به مجموعه اعداد طبیعی نمی‌باشد، در این صورت این مجموعه نسبت به عمل دوتایی جمع دارای عضو همانی یا خنثی نخواهد بود.
مثال ۳. آیا مجموعه اعداد طبیعی همراه با ضرب معمولی تشکیل یک گروه می‌دهد؟
خیر، زیرا برای اینکه یک مجموعه گروه باشد، با توجه به تعریف گروه بودن، هر عضوی باید دارای عضو وارون منحصر به فردی باشد. برای بررسي اين موضوع از آنجایی که این مجموعه نسبت به عمل دوتایی ضرب داراي عضو همانی یک می‌باشد، سعی می‌کنیم که عضو وارون يک عضو دلخواه را برای آن بدست آوریم:
\(a \in \mathbb{N} , \exists b \in \mathbb{N}, a.b=b.a=1\)
که در آن \( b = \frac{1}{a} \) متعلق به مجموعه اعداد طبیعی نخواهد شد. مثلا \(2 \in \mathbb{N}\) است، ولی \( \frac{1}{2}\) متعلق به \( \mathbb{N} \) نخواهد بود. پس \( \mathbb{N} \) همراه با عمل دوتایی ضرب یک گروه نمی شود.
مثال ۴. آیا \( \mathbb{Q} \) نسبت به عمل دوتایی ضرب یگ گروه می باشد؟
برای اینکه بررسی کنیم \( \mathbb{Q} \) نسبت به عمل دوتایی ضرب معمولی یک گروه است، طبق تعریف گروه بودن عمل می‌کنیم و شرایط زیر را بررسی می‌کنیم:
۱. \( \mathbb{Q} \) نسبت به عمل دوتایی ضرب بسته می‌باشد. زیرا به ازای هر \( a,b \in \mathbb{Q} \) بگیریم \( a.b \in \mathbb{Q} \) خواهد بود.
۲. \( \mathbb{Q} \) نسبت به عمل دوتایی ضرب شرکت پذیر می‌باشد زیرا به ازای هر \( a,b,c \in \mathbb{Q} \) داریم: \( (a.b).c = a.(b.c) \).
۳. \( \mathbb{Q} \) نسبت به عمل دوتایی ضرب دارای عضو همانی منحصر به فردی چون یک می‌باشد زیرا به ازای هر \(a \in \mathbb{Q} \) بگیریم، داریم\( a.1 = 1.a = a\) :.
۴. \( \mathbb{Q} \) نسبت به عمل دوتایی ضرب دارای وارون منحصر به فردی می‌باشد زیرا به ازای هر \( a \in \mathbb{Q} \) بگیریم، عضو منحصر به فردی چون b موجود است که به صورت \( b = \frac{1}{a} \) می‌باشد که گویا است و داریم: a .b = b .a = 1\(\).
لذا \( \mathbb{Q} \) نسبت به عمل دوتایی ضرب یک گروه است و با توجه به اینکه دارای خاصیت جابه‌جایی می‌باشد، یک گروه آبلی می‌باشد.
تمرین . کدام یک از مجموعه‌های زیر همراه با عمل دوتایی مشخص شده یک گروه می‌باشد.
۱. \( G = \mathbb{Z} , a * b = ab^{2} \)
۲. \( G = \mathbb{C} , a * b = (a +ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d) \)
۳. \(G=\mathbb{Z}_n = \{ \overline{0} , \overline{1}, \dots, \overline{n-1} \} , a*b= \overline{a}+\overline{b}\)