مثال هایی در معکوس تبدیلات لاپلاس
در مطلب قبلی سایت ریاضیات ایران آموختیم که چگونه می توانیم معکوس تبدلات لاپلاس را محاسبه کنیم. مثال های آن مطلب مثال هایی ساده بودند و به راحتی حل می شدند. در این مطلب، ریاضیات ایران برای شما مثال های پیچیده تر و سخت تری از معکوس تبدیلات لاپلاس آماده کرده تا شما را با روش حل معکوس تبدیلات لاپلاس آشنا کند. با ما همراه باشید.
نکته: همانگونه که در مثالهای درس قبل سایت ریاضیات ایران دیدید، بهترین راه برای تشخیص تبدیل لاپلاس، دقت و توجه به مخرج کسر است. با توجه به مخرج کسر، اگر چند تبدیل وجود داشت، با بررسی و دقت در صورت کسر، تبدیل مناسب را پیدا میکنیم. در مثالهای پیشرفته تر زیر، این را خواهیم دید.
مثال ۴: تبدیل معکوس لاپلاس زیر را بیایید.
حل: در این مثال، در مخرج کسر اول، از ۳ فاکتور میگیریم، و کسر دوم نیز با کمی تغییرات در صورت، به نظر میرسد یک سینوس هایپربولیک است (ردیف ۱۷ جدول). مجدداً به اختلاف بین این دو دقت کنید! پس داریم:
لذا معکوس تبدیل لاپلاس عبارت است از:
مثال ۵: تبدیل لاپلاس معکوس زیر را بیابید:
حل: از مخرج این کسر میتوان فهمید که این تبدیل میتواند معکوس یک سینوس یا کسینوس باشد، اما صورت کسر با هیچکدام از ردیف های جدول همخوانی ندارد. زیرا تبدیل کسینوس در صورت فقط یک s با ضریب عددی میخواهد و تبدیل سینوس در صورت فقط ثابت عددی دارد و s ندارد. اگر به صورت دقت کنیم، هر دو حالت را در آن میبینیم. پس کافی است کسر را به صورت زیر به دو کسر مجزا بشکنیم:
بنابراین معکوس لاپلاس (با توجه به جدول تبدیلات لاپلاس) به صورت زیر خوهد شد:
مثال ۶: تبدیل لاپلاس معکوس زیر را بیابید:
حل: در این مورد، مخرج کسر با هیچ کدام از ردیفهای جدول تبدیلات لاپلاس سازگار نیست. اما با مربع کامل کردن مخرج، میتوانیم آن را به یکی از ردیفهای جدول منطبق کنیم.
بنابراین تبدیل لاپلاس داده شده به صورت زیر خواهد شد:
در این صورت این تبدیل شبیه ردیف ۱۹ یا ۲۰ جدول تبدیلات لاپلاس خواهد شد. دقت داریم که برای استفاده از ردیف ۱۹ جدول، در صورت فقط باید عدد ثابت داشته باشیم و برای استفاده از ردیف ۲۰، در صورت باید عبارتی مانند s-a داشته باشیم. پس باید صورت را تغییر دهیم تا به شکل مطلوب درآید. بنابراین با شکستن کسر و آماده سازی برایاستفاده از فرمول های گفته شده به صورت زیر خواهیم داشت:
اکنون به راحتی میتوانیم لاپلاس معکوس هر کسر را بنویسیم:
با این مثالها شما با اصول محاسبه معکوس تبدیل لاپلاس آشنا شدید، جهت کسب مهارت در انجام محاسبات تبدیلات لاپلاس، باید تمرن کافی انجام دهید و مثالهای متنوع تری را حل کنید.