فضای ضرب داخلی

چاپ

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

تعریف فضای ضرب داخلی: فرض کنید که \(V\) یک فضای برداری بر روی میدان \(F\) باشد. تابع زیر را بر روی این فضای برداری تعریف می‌کنیم:

\(<. , .> : V \times V \rightarrow F\)

که در شرایط زیر صدق می‌کند:

۱. به ازای هر \( v \in V\) می‌گیریم:

\(<v , v> \geq 0\)

۲. اگر \( v,u\in V\) باشد و هرگاه اسکالر \(a \in F\) می‌گیریم، داریم:

\(<au , v> = a\)

۳. برای هر \(u,v,w \in V\) می‌گیریم، داریم:

\( <u+v , w> = + <v , w>\)

۴. برای هر \(u \in V\) می‌گیریم داریم، اگر \(<u,u> = 0\) است و اگر تنها اگر \( u=0\) باشد.

در اینصورت این فضای برداری همراه با شریط بالا یک فضای ضرب داخلی است.

مثال ۱. فرض کنید \(V\) فضای برداری تمام توابع پیوسته حقیقی بر روی بازه \([-1,1]\) باشد. ثابت کنید که این فضای برداری همراه با تابع زیر یک فضای ضرب داخلی است.

\(<. , .> = v \times v \Longrightarrow \mathbb{R}\)

\(<f , g> =\int_{-1}^{1} f(x)g(x)dx \)

برای اثبات این موضوع که این فضا یک فضای ضرب داخلی است، باید ثابت کنیم که تابع مورد نظر یک ضرب داخلی است. لذا داریم:

۱. برای هر \( f(x) \in V \) می‌گیریم، داریم:

\(<f(x) , f(x)> = \int_{-1}^{1} f(x)f(x)dx = \int_{-1}^{1} f(x)^2 dx \)

که این مقدار انتگرال همواره بزرگتر مساوی صفر خواهد بود.

۲ .برای هر \(f(x),g(x),h(x) \in V\) می‌گیریم، داریم:

\(<f(x) + g(x) , h(x)>=\int_{-1}^{1} (f(x)+g(x))h(x)dx = \int_{-1}^{1} (f(x)h(x) + g(x) h(x)) dx = \int_{-1}^{1} f(x) h(x) dx + \int_{-1}^{1} g(x)h(x),d(x) = <f(x) , h(x)> + <g(x) , h(x)> \)

۳ .برای هر \(f(x),g(x) \in V\) و \(\lambda \in \mathbb{R}\) بگیریم، داریم:

\(<\lambda f(x),g(x)> = \int_{-1}^{1} \lambda f(x) g(x) dx = \lambda \int_{-1}^{1} f(x) g(x) dx = \lambda <f(x) , g(x)>\)

۴ .برای هر \(f(x),g(x)(n) \in V\) می‌گیریم، داریم:

\(<f(x),g(x)> = \int_{-1}^{1} f(x) g(x) dx = <g(x) , f(x)>\)

چون این توابع حقیقی مقدار هستند، همواره رابطه بالا برقرار خواهد بود.

ویژگی فضای ضرب داخلی: ویژگی‌های اساسی که بر روی فضای ضرب داخلی برقرارند عبارتند از:

فرض کنید که \(u \in V\) باشد و \(\lambda \in F\) یک اسکالر باشد. لذا داریم:

۱. برای هر \( u \in V\) داریم:

\(<0 , u> = 0\)

۲. برای هر \( u \in V\) می‌گیریم، داریم:

\( =0\)

۳. برای هر \( u,v,w \in V\) می‌گیریم، داریم:

\( = + \)

۴. برای هر \( u,v \in V\) و \( \lambda \in F\) می‌گیریم، داریم:

\( = \overline{\lambda} \)

تمرین ۱. ویژگی‌های ۱ تا ۴ را بر روی فضای ضرب داخلی ثابت کنید.