فضای ضرب داخلی
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
تعریف فضای ضرب داخلی: فرض کنید که \(V\) یک فضای برداری بر روی میدان \(F\) باشد. تابع زیر را بر روی این فضای برداری تعریف می‌کنیم:
\(<. , .> : V \times V \rightarrow F\)
که در شرایط زیر صدق می‌کند:
۱. به ازای هر \( v \in V\) می‌گیریم:
\(<v , v> \geq 0\)
۲. اگر \( v,u\in V\) باشد و هرگاه اسکالر \(a \in F\) می‌گیریم، داریم:
\(<au , v> = a<u , v>\)
۳. برای هر \(u,v,w \in V\) می‌گیریم، داریم:
\( <u+v , w> = <u , w> + <v , w>\)
۴. برای هر \(u \in V\) می‌گیریم داریم، اگر \(<u,u> = 0\) است و اگر تنها اگر \( u=0\) باشد.
در اینصورت این فضای برداری همراه با شریط بالا یک فضای ضرب داخلی است.
مثال ۱. فرض کنید \(V\) فضای برداری تمام توابع پیوسته حقیقی بر روی بازه \([-1,1]\) باشد. ثابت کنید که این فضای برداری همراه با تابع زیر یک فضای ضرب داخلی است.
\(<. , .> = v \times v \Longrightarrow \mathbb{R}\)
\(<f , g> =\int_{-1}^{1} f(x)g(x)dx \)
برای اثبات این موضوع که این فضا یک فضای ضرب داخلی است، باید ثابت کنیم که تابع مورد نظر یک ضرب داخلی است. لذا داریم:
۱. برای هر \( f(x) \in V \) می‌گیریم، داریم:
\(<f(x) , f(x)> = \int_{-1}^{1} f(x)f(x)dx = \int_{-1}^{1} f(x)^2 dx \)
که این مقدار انتگرال همواره بزرگتر مساوی صفر خواهد بود.
۲ .برای هر \(f(x),g(x),h(x) \in V\) می‌گیریم، داریم:
\(<f(x) + g(x) , h(x)>=\int_{-1}^{1} (f(x)+g(x))h(x)dx = \int_{-1}^{1} (f(x)h(x) + g(x) h(x)) dx = \int_{-1}^{1} f(x) h(x) dx + \int_{-1}^{1} g(x)h(x),d(x) = <f(x) , h(x)> + <g(x) , h(x)> \)
۳ .برای هر \(f(x),g(x) \in V\) و \(\lambda \in \mathbb{R}\) بگیریم، داریم:
\(<\lambda f(x),g(x)> = \int_{-1}^{1} \lambda f(x) g(x) dx = \lambda \int_{-1}^{1} f(x) g(x) dx = \lambda <f(x) , g(x)>\)
۴ .برای هر \(f(x),g(x)(n) \in V\) می‌گیریم، داریم:
\(<f(x),g(x)> = \int_{-1}^{1} f(x) g(x) dx = <g(x) , f(x)>\)
چون این توابع حقیقی مقدار هستند، همواره رابطه بالا برقرار خواهد بود.
ویژگی فضای ضرب داخلی: ویژگی‌های اساسی که بر روی فضای ضرب داخلی برقرارند عبارتند از:
فرض کنید که \(u \in V\) باشد و \(\lambda \in F\) یک اسکالر باشد. لذا داریم:
۱. برای هر \( u \in V\) داریم:
\(<0 , u> = 0\)
۲. برای هر \( u \in V\) می‌گیریم، داریم:
\( <u , 0> =0\)
۳. برای هر \( u,v,w \in V\) می‌گیریم، داریم:
\( <u , v+w> = <u , v> + <u , w>\)
۴. برای هر \( u,v \in V\) و \( \lambda \in F\) می‌گیریم، داریم:
\(<u , \lambda w> = \overline{\lambda}<u , w> \)
تمرین ۱. ویژگی‌های ۱ تا ۴ را بر روی فضای ضرب داخلی ثابت کنید.
