تعریف تابع
رای دهی: 5 / 5
با توجه به آنجه تا کنون در سایت ریاضیات ایران آموخته‌ایم، تعربف تابع را به صورت زیر ارائه می‌کنیم:
«اگر A و B دو مجموعه باشند، هر زیرمجموعه از حاصلضرب دکارتی 
که عضوهای مجزای آن دارای مؤلفه‌های اول متفاوت باشند را یک تابع از A در B می‌نامیم.»
به عبارتی دیگر
«هر رابطه از A در B که عضوهای متفاوت آن مولفه اول مختلف داشته باشد را یک تابع از A در B می‌نامیم.»
این تعریف ساده ترین تعریف تابع است.
توابع را معمولاً با حروف کوچک لاتین نشان می‌دهیم و از f به بعد نامگذاری می‌کنیم. مانند f و g و ... . همچنین معمولاً مؤلفه‌های اول را با x و مؤلفه‌های دوم را با y نشان می‌دهند.
در تعریف مجموعه گفتیم که تکرار عضو در مجموعه مجاز نیست و همه‌ی عضوهای تکراری را یک عضو در نظر می‌گیریم. پس در رابطه‌ها و توابع نیز عضوهای تکراری را یکی می‌گیریم. از این خاصیت برای اثبات تابع بودن استفاده می‌کنیم که در ادامه توضیح می‌دهیم.
سوال: آیا هر رابطه‌ای تابع است؟ چگونه بفهمیم یک رابطه تابع است یا خیر؟
از تعریف تابع مشخص است که برخی از رابطه‌ها تابع نیستند، کدام ها؟ هر رابطه‌ای که دارای حداقل دو زوج مرتب متمایز با مولفه‌های اول مساوی باشد. رابطه‌های ساده زیر را ببینید:
R1={ (2,5),(3,6),(0,4) }
R2={ (2,5),(3,6),(2,4) }
با اینکه هردو رابطه‌اند اما R1 تابع است ولی R2 تابع نیست زیرا مؤلفه‌های اول دو عضو متمایز (2,5) و (2,4) با هم برابر است.
برای این که نشان دهیم یک رابطه تابع است یا خیر، کافی است بررسی کنیم که مؤلفه‌های اول یکسان نباشند.اگر رابطه داده شده کوچک باشد، با بررسی موردی می‌توان فهمید که تابع است یا خیر. اما در رابطه‌های بزرگ این روش عملاً امکان پذیر نخواهد بود.
بررسی تابع بودن در حالت کلی:
در حالت کلی برای تابع بودن، اثبات می‌کنیم که اگر مؤلفه‌های اول با هم برابر باشند، آنگاه مؤلفه‌های دوم نیز با هم برابرند. زیرا اگر مؤلفه‌های دوم نابرابر باشند، دوتایی‌های مرتب متمایز با مؤلفه‌های اول یکسان خواهیم داشت که تابع نخواهد شد. در واقع با این کار نشان می دهیم اگر مولفه‌های اول دوتایی‌هایی با هم برابر باشند، مؤلفه های دوم نیز با هم برابرند که در این صورت دوتایی‌های مرتب یکی می‌باشند. بیان ریاضی این مفهوم به صورت زیر است :
فرض کنید R یک رابطه باشد و داشته باشیم
در این صورت R یک تابع می باشد.
همین ویژگی ساده تعریف تایع (یکسان نبودن مؤلفه‌های اول) باعث می شود که بتوانیم برای تابع، ضابطه مشخص کنیم. اکنون شما قدم در دنیای جدیدی از ریاضیات گذاشته اید با ما باشید تا در ادامه اطلاعات بیشتری در مورد توابع بیاموزیم.
