امتحان ریاضی عمومی 1 ترم دوم 91-90 آزاد تهران مرکزی
رای دهی: 5 / 5
نام آزمون: ریاضی یک
دانشگاه: آزاد اسلامی واحد تهران مرکزی
رشته تحصیلی: کلیه رشته های تحصیلی
سال تحصیلی: 91-1390 ترم دوم
تاریخ امتحان: 1391/03/27
استاد: همه اساتید
سوال 1. الف: هرگاه 
و 
آنگاه شکل قطبی عدد مختلط 
را به دست آورید.
ب: فرض کنید 
و 
دو عدد مختلط باشند به طوری که 
، 
. در این صورت مقدار 
را به دست آورید. (2 نمره)
سوال 2. فرض کنید f تابعی است که در هر فاصله کراندار، انتگرالپذیر است. بعلاوه فرض کنید که f در معادله زیر صدق کند:
الف: نشان دهید که اگر 
، آنگاه f پیوسته است.
ب: نشان دهید که اگر ، آنگاه f مشتق پذیر است.
ج: تابع 
را با مشتقگیری از طرفین معادله بالا محاسبه کنید. (2نمره)
سوال 3. انتگرال های
الف: 
ب: 
ج: 
را محاسبه کنید. (3 نمره) 
سوال 4. درون مخزن کروی شکل به شعاع 10 متر، تا ارتفاع 12 متری آب ریخته‌ایم. حجم آب موجود را محاسبه کنید. (1 نمره)
سوال 5. طول خم 
را که توسط خط 
بریده می شود، حساب کنید. (1 نمره)
سوال 6. فرض کنید 
الف: نشان دهید 
ب: توضیح دهید که چرا انتگرال 
ریمن است و سپس مقدار انتگرال را حساب کنید.
ج: نشان دهید 
= 
(3 نمره)
سوال 7. الف: فرض کنید 
، نشان دهید 
همگراست.
ب: نشان دهید 
. (2 نمره)
سوال 8. در سری 
هرگاه 
می‌توان از آزمون رابه کمک گرفت. قرار می‌دهیم 
هرگاه 
آنگاه سری همگرا و هرگاه 
آنگاه سری واگراست. در سری که در آن 
به کمک آزمون رابه بر حسب مقادیر مختلف 
در همگرایی و واگرایی آن بحث کنید. (2.5 نمره)
سوال 9. الف: نشان دهید که سری 
همگراست.
ب: مقدار سری قسمت الف را حساب کنید. (2 نمره)
سوال 10. الف: نشان دهید سری 
همگراست.
ب: نشان دهید 
. (2 نمره)
سوال 11. با توجه به 
برای هر عدد حقیقی y ، نشان دهید که 
برای هر عدد حقیقی y. (1.5 نمره)
موفق باشید (گروه علوم پایه)