زیرگروه، تعریف، مثال، تمرین
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
تعریف زیر گروه: فرض کنید \( G \neq \emptyset \) همراه با عمل دوتايي * که بر روی آن تعریف شده است، تشکیل یک گروه بدهد. مجموعه ناتهی \( H \subseteq G \) را زيرگروه G تحت عمل دوتایی * گويند، هرگاه H تحت عمل دوتایی * خود تشکیل یک گروه بدهد. H زیر گروه G را نماد \( H \leq G \) نشان می‌دهیم.
نکته ۱. هر گروه G زیرگروه خودش می‌باشد.
نکته ۲. اگر e عنصر همانی گروه G باشد، در این صورت مجموعه \(\{e\}\) یک زیرگروه G می‌باشد. به این زیرگروه بدیهی G می‌گویند.
مثال ۱. نشان دهید که \( (\mathbb{Z},+) \leq (\mathbb{R},+) \) است.
حل: برای این منظور کافی است ثابت کنیم که \((\mathbb{Z},+)\) یک گروه می‌باشد.
۱. چون به ازای هر \(a,b \in \mathbb{Z}\) بگیریم \(a+b \in \mathbb{Z}\) لذا \( \mathbb{Z} \) نسبت به عمل دوتایی جمع بسته است.
۲. چون به ازای هر \(a,b,c \in \mathbb{Z}\) می‌گیریم \( (a*b)*c = a*(b*c)\) در این صورت \( \mathbb{Z} \) تحت عمل دوتایی جمع شرکت پذیر می‌باشد.
۳. عضو همانی در مجموعه \( \mathbb{Z} \) همراه با عمل دوتایی جمع معمولی یک می‌باشد. زیرا به ازای هر \( a \in \mathbb{Z} \) داریم: \( a*1 = 1*a =a \).
۴. قرینه هر عدد در مجموعه \( \mathbb{Z} \) تحت عمل دوتایی جمع معمولی، عضو وارون در مجموعه Z می‌باشد.
در نتیجه \((\mathbb{Z} , +) \leq (\mathbb{R} , +)\) خواهد بود.
مثال ۲. ثابت کنید که \( (n\mathbb{Z},+)\leq (\mathbb{Z},+) \)است.
حل: کافی است ثابت کنیم که\( \mathbb{Z} \) تحت عمل دوتایی جمع یک گروه است.
۱. چون به ازای هر عضو \(a,b \in \mathbb{Z} \) بگیریم، داریم ،\( a = nk_{2}, b = nk_{1} \) لذا \( a+b = n(k_{1} + k_{2}) \) در نتیجه \( a+b \in n\mathbb{Z} \) است. پس نسبت به عمل دوتایی جمع بسته می‌باشد.
۲. چون به ازای هر عضو \(a , b,c \in n\mathbb{Z}\) بگیریم \(a=nk1\) و \(b=nk2\) و \(c=nk3\) لذا داریم:
\((a*b)*c= (nk_1 + nk_2)+nk_3=n(k_1+k_2+k_3)= a*(b*c)\)
لذا شرکتپذیر خواهد شد.
۳. صفر به عنوان عضو وارون این مجموعه تحت عمل دوتایی + در نظر گرفته خواهد شد، زیرا به ازای هر \(a \in n\mathbb{Z}\) داریم \(a+0 = 0+a = a\).
۴. چون به ازای هر \(a\in n\mathbb{Z}\) بگیریم \( a = nk\) عضو منحصر به فرد \(b=-nk\) موجود است به قسمی که \(a+b = b+a=0\) است. لذا \( (n\mathbb{Z},+) \) زیرگروهی از \((\mathbb{Z},+)\) خواهد بود.
قضیه ۱. اگر H زیرمجموعه G باشد در این صورت H زیرگروه G است اگر و فقط اگر
الف. \( \forall a,b \in H \rightarrow ab \in H \)
ب. \( \forall a \in H \rightarrow a^{-1} \in H \)
اثبات: اگر H زیرگروه باشد، چون H نسبت به عمل دوتایی G خود یک گروه می‌باشد، دو خاصیت الف و ب برقرار است. حال فرض کنید که خاصیت‌های الف و ب برقرار باشد، ثابت می‌کنیم که H زیرگروهG است. ویژگی الف، بسته بودن نسبت به عمل دوتایی را ثابت می‌کند. ویژگی ب، وارون داشتن هر عضو را ثابت می‌کند. حال چون \(a,a^{-1} \in H\) است، لذا \(e=aa^{-1} \in H\) پس وجود عضو همانی در H ثابت خواهد شد. پس نتیجه می‌گیریم که \(H\leq G\) است.
مثال ۳. هرگاهG یک گروه و \(a\in G\) عضوی از آن باشد، آنگاه تعریف می‌کنیم:
\( <a>: =\{ g \in G | g = a^{i} , for\: some\: i \in \mathbb{Z}\} \)
در این صورت <a> یک زیرگروه G است و زیرگروه تولید شده توسط a خوانده می‌شود.
طبق قضیه ۱ عمل می‌کنیم به ازای هر \( g_{1},g_{2} \in <a> \) بگیریم \(g_1g_2= a^i a^j =a^{i+j}\in <a>\) خواهد شد، لذا شرط اول برقرار است. شرط دوم را نیز بدست می‌آوریم، یعنی به ازای هر \( g=a^{i} \in <a> \) می‌گیریم داریم عضو منحصر به فردی چون \(g_{1}=a^{-i}\) به گونه‌ای که \(g*g_{1}=a^{i}*a^{-i} = a^{0} = e\) لذا \(<a> \leq G\) خواهد بود.
تمرین. ثایت کنید مجموعه \(SL_{n}(\mathbb{R})\) یعنی مجموعه تمام ماتریس‌های وارون نیز با دترمینان برابر یک زیرگروه مجموعه تمام ماتریس‌های \( GL_{n}(\mathbb{R}) \) می باشد.