پایان ترم ریاضی عمومی یک دانشگاه صنعتی شریف خرداد ماه ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی
- مقطع تحصیلی: عمومی
نام آزمون: پایانترم ریاضی عمومی یک با پاسخ تشریحی
دانشگاه: صنعتی شریف
دانشکده علوم ریاضی
استاد: همه گروه ها
نیمسال دوم 1400-1399
تاریخ برگزاری: خرداد 1400
وقت ۳ ساعت
دانلود فایل PDF پایانترم (همین آزمون)
دانلود پاسخ تشریحی سوالات آزمون پایانترم (همین آزمون)
سؤال ۱. تابع \( f(x) = \sin (x) - x \cos (x+1) \) را در نظر می‌گیریم.
الف- با استفاده از مقدار معلوم \( f(x) \) در نقطه \( 0 \) ، مقدار تقریبی \( f (-\frac{1}{8}) \) را با استفاده از تقریب خطی پیدا کنید. ( نیازی به استفاده از ماشین حساب برای محاسبه اعشاری عبارت به‌دست آمده به وسیله تقریب خطی نیست، صرفاْ عبارت به دست آمده توسط تقریب خطی را بنویسید.)
ب - نشان دهید قدر مطلق خطای محاسبه قسمت (الف) کمتر یا مساوی \( \frac{1}{32} \) است.
ج- نشان دهید \( f(-\frac{1}{8} \) منفی است. ( استفاده از ماشین حساب مجاز نیست. راهنمایی: در صورت نیاز می‌توانید از قسمت (ب) استفاده کنید و همچنین نامساوی \( \cos (x) < \frac{3}{4} \) را با مقایسه زاویه ۱ بر حسب رادیان، با زوایای آشنایی که کسینوس آنها را می‌دانید، ثابت کنید.)
د- نشان دهید نقطه \( c \)در بازه \( [-1,0] \) هست به طوری که \( f(c) = 0 \).
هـ- نشان دهید نقطه \( d \)در بازه \( [-1,0] \) هست به طوری که \( f^{\prime} (d) = 0 \).
\( F(x) =\displaystyle \int_{-2}^{x^2 -1} \sqrt[3]{t^3 - 3 t^2 } dt \)
سؤال ۲. می‌خواهیم یک لیوان استوانه‌ای شکل از مقوا بسازیم که به اندازه حجم معینی ظرفیت داشته باشد و مقدار مقوای به کار رفته در آن کمترین مقدار باشد. نسبت ارتفاع لیوتن به قطر کف آن چقدر باید باشد؟
توضیح: در این سوال لیوان، مثل یک لیوان معمولی سرباز است.
سؤال ۳. تابع \( f(x) = \displaystyle \int_{x}^{2x} e^{-t^{2}} dt \) را در نظر می‌گیریم.
الف- \( f^{\prime} (x) \) و \( f^{\prime\prime} (x) \) را به دست آورید.
ب - به ازای چه \( x \) هایی \( f(x) \) ماکسیمم موضعی می‌شود؟ ( استفاده از ماشین حساب یا نرم‌افزارهای محاسباتی به جهت محاسبه اعشاری یک عبارت برای تعیین مثبت یا منفی بودن آن در آزمون مشتق دوم مجاز است.)
سؤال ۴. الف- با استفاده از بسط مک‌لورن انتگرال \( f(x) = \displaystyle \int_{0}^{x} \sin (t^{2}) dt \) را به صورت یک سری توانی بیان کنید. ( شکل کلی ضرایب آن را بنویسید و حداقل چهار جمله اول آن را به دست آورید.)
ب - مقدار تقریبی این انتگرال برای \( x = 1 \) را تا ۳ رقم اعشار حساب کنید.
موفق باشید.
دانلود فایل PDF پایانترم (همین آزمون)
دانلود پاسخ تشریحی سوالات آزمون پایانترم (همین آزمون)
لیست نمونه سوالات دانشگاه صنعتی شریف
لیست جزوه های دانشگاه صنعتی شریف
لیست نمونه سوالات ریاضی عمومی سایر دانشگاه ها
لیست طبقه بندی شده نمونه سوالات دانشگاهی
لیست کتاب های ریاضی عمومی