سری مک‌لورن
- مقطع تحصیلی: کارشناسی
رای دهی: 5 / 5
سری مک‌لورن ( Maclaurin Series ) چیست؟
سری مک‌لورن همان سری تیلور حول نقطه \( x=0 \) است. بنابراین تعریف زیر را برای آن خواهیم داشت:
تعریف سری مک‌لورن:
فرض کنید \( f(x) \) یک تابع حقیقی است که در نقطه \( x = 0 \) بی‌نهایت بار مشتق پذیر می‌باشد. سری مک‌لورن تابع \( f(x) \) را در نقطه‌ی \( x = 0 \) به صورت زیر ارائه می‌دهد:
\( \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} (0) \frac{x^{n}}{n!} = f(0) + f^{\prime} (0) x + f^{\prime\prime} (0) \frac{x^{2}}{2!} + f^{(3)} (0) \frac{x^{3}}{3!} + \cdots + f^{(3)} (0) \frac{x^{3}}{3!} + \cdots \)
که به آن سری مک‌لورن تابع \( f(x) \) می‌گوییم.
توجه داشته باشید که در فرمول بالا، \( f^{(n)} (0) \) به معنی مشتق \( n \)م تابع \( f(x) \) در نقطه‌ی \( x = 0 \) است.
به سری مک‌لورن، بسط مک‌لورن نیز گفته می‌شود.
روش محاسبه سری مک‌لورن:
برای محاسبه سری مک‌لورن یک تابع، ابتدا مقدار تابع را در نقطه \( x=0 \) به دست می‌آوریم. سپس مشتق تابع را گرفته و مقدار مشتق را در نقطه \( x=0 \) محاسبه می‌کنیم. پس از آن به ترتیب مشتق مرتبه دوم و سوم و ... را در نقطه \( x=0 \) محاسبه می کنیم. سپس مقادیر به دست آمده را در فرمول بالا جایگذاری کرده و بسط مک‌لورن تابع به دست خواهد آمد.
اکنون با یک مثال به خوبی روش کار را ببینیم.
مثال: بسط مک‌لورن تابع \( \cos x \) را به دست آورید.
حل: در این مثال \( f(x) = \cos x \). ابتدا مقدار تابع در این نقطه را محاسبه می کنیم و سپس مشتقات تابع را در این نقطه حساب می‌کنیم.
\( f(x) = \cos x \Longrightarrow f (0) = \cos (0) = 1 \)
\( f(x) = \cos x \Longrightarrow f^{\prime} (x) = - \sin (x) \Longrightarrow f^{\prime} (0) = - \sin (0) = 0 \)
\( f^{\prime}(x) = - \sin (x) \Longrightarrow f^{\prime\prime} (x) = - \cos (x) \Longrightarrow f^{\prime\prime} (0) = - \cos (0) = -1 \)
\( f^{\prime\prime}(x) = - \cos (x) \Longrightarrow f^{(3)} (x) = \sin (x) \Longrightarrow f^{(3)} (0) = \sin (0) = 0 \)
\( f^{(3)}(x) = \sin (x) \Longrightarrow f^{(4)} (x) = \cos (x) \Longrightarrow f^{(4)} (0) = \cos (0) = 1 \)
و به همین ترتیب مشتق مراتب بالاتر در نقطه \( x = 0 \) به صورت زیر تکرار خواهد شد:
\( f^{(5)} (0) = 0 , f^{(6)} (0) = -1 , f^{(7)} (0) = 0 , f^{(8)} (0) = 1 , f^{(9)} (0) = 0 , \cdots \)
بنابراین سری مک‌لورن تابع \( \cos x \) با جایگذاری مقادیر فوق در فرمول، به صورت زیر خواهد بود:
\( \begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} (0) \frac{x^{n}}{n!} &= f(0) + f^{\prime} (0) x + f^{\prime\prime} (0) \frac{x^{2}}{2!} + f^{(3)} (0) \frac{x^{3}}{3!} + \cdots \\ &= 1 + 0 \times x - 1 \times \frac{x^{2}}{2!} + 0 \times \frac{x^{3}}{3!} + 1 \times \frac{x^{4}}{4!} + 0 \times \frac{x^{5}}{5!} \\ & \qquad - 1 \times \frac{x^{6}}{6!} + 0 \times \frac{x^{7}}{7!} + 1 \times \frac{x^{8}}{8!} + 0 \times \frac{x^{9}}{9!} - \cdots \\ & = 1 -\frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} +\frac{x^{8}}{8!} - \cdots \end{align*} \)
این چندجمله‌ای سری مک‌لورن تابع \( \cos x \) می‌باشد. هرچه تعداد مراتب مشتق را بیشتر کنیم، دقت تخمین سری بیشتر خواهد شد و منحنی چندجمله‌ای بر منحنی تابع منطبق‌تر خواهد شد. نمودار این چندجمله‌ای را به ازای درجه‌های مختلف در زیر مشاهده می‌کنید.
تمرین ۱: سری مک‌لورن تابع \( f(x) = \tan x \) بیابید.
تمرین ۲: سری مک‌لورن تابع \( f(x) = \cot x \) بیابید.
در مطالب بعدی، سری مک‌لورن تعدادی از توابع خاص را با هم محاسبه خواهیم کرد. با ما همراه باشید.
