پایانترم آنالیز ریاضی1، ترم دوم اردیبهشت 88-87 امیرکبیرتهران

رای دهی: 5 / 5

1. دنباله کشی و فضای متری complete را تعریف کرده و نشان دهید ، complete است.

2. ثابت کنبد زیرمجموعه K از فضای متریک فشرده است اگر و فقط اگر هر دنباله در K دارای یک زیردنباله همگرا باشد.

3. نشان دهید زیرمجموعه A از فضای متریک همبند است اگر و فقط اگر تنها زیرمجموعه هم باز و هم بسته در A ، یا A باشد.

4. فرض کنید d و 'd دو متریک روی مجموعه X باشند به طوری که هر زیرمجموعه باز یک زیرمجموعه باز باشد و برعکس.

الف) نشان دهید اعداد مثبت حقیقی و چنان موجودند که برای هر ،

ب) نشان دهید اگر ، complete باشد، آنگاه نیز complete است.

5. ثابت کنید که اگر پیوسته و 1-1 باشد و X فشرده، آنگاه تابعی پیوسته است.

6. اگر هر دو ناتهی و از بالا کراندار باشند، نشان دهید: