سری تیلور

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

سری تیلور چیست؟

سری تیلور یک چندجمله‌ای از درجه نامتناهی است و برای نمایش توابع مختلفی که خودشان چندجمله‌ای نیستند، استفاده می‌شود.

تعریف سری تیلور :

فرض کنید \( f(x) \) یک تابع حقیقی است که در نقطه \( x = a \)‌ بی‌نهایت بار مشتق پذیر می‌باشد. سری تیلور تابع \( f(x) \)  را در نقطه‌ی \( x = a \) به صورت زیر ارائه می‌دهد:

\( \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} (a) \frac{(x-a)^{n}}{n!} = f(a) + f^{\prime} (a) (x-a) + f^{\prime\prime} (a) \frac{(x-a)^{2}}{2!} + f^{(3)} (a) \frac{(x-a)^{3}}{3!} + \cdots\)

که به آن سری تیلور تابع \( f(x) \)‌ در نقطه \( a \)‌ می‌گوییم.

توجه داشته باشید که در فرمول بالا، \( f^{(n)} (a) \) به معنی مشتق  \( n \)‌م تابع \( f(x) \)  در نقطه‌ی \( x = a \) است.

روش محاسبه سری تیلور:

برای محاسبه سری تیلور یک تابع در نقطه داده شده، ابتدا مشتق تابع را گرفته و مقدار مشتق را در آن نقطه محاسبه می‌کنیم. سپس به ترتیب مشتق مرتبه دوم و سوم و ... را در نقطه داده شده محاسبه می کنیم. سپس مقادیر به دست آمده را در فرمول بالا جایگذاری کرده و بسط تیلور تابع به دست خواهد آمد.

اکنون با یک مثال به خوبی روش کار را ببینیم.

مثال: بسط تیلور تابع \( \cos x \) را حول نقطه \( x= \pi \)‌ به دست آورید.

حل: در این مثال \( f(x) = \cos x \) و \( a = \pi \) . ابتدا مقدار تابع در این نقطه را محاسبه می کنیم و سپس مشتقات تابع را در این نقطه حساب می‌کنیم.

\( f(x) = \cos x \Longrightarrow f (\pi) = \cos (\pi) = -1 \)

\( f(x) = \cos x \Longrightarrow f^{\prime} (x) = - \sin (x)  \Longrightarrow f^{\prime} (\pi) = - \sin (\pi) = 0 \)

\( f^{\prime}(x) = - \sin (x) \Longrightarrow f^{\prime\prime} (x) = - \cos (x)  \Longrightarrow f^{\prime\prime} (\pi) = - \cos (\pi) = - (-1) = 1 \)

\( f^{\prime\prime}(x) = - \cos (x) \Longrightarrow f^{(3)} (x) =  \sin (x)  \Longrightarrow f^{(3)} (\pi) =  \sin (\pi) = 0 \)

\( f^{(3)}(x) = \sin (x) \Longrightarrow f^{(4)} (x) =  \cos (x)  \Longrightarrow f^{(4)} (\pi) =  \cos (\pi) = -1 \)

و به همین ترتیب مشتق مراتب بالاتر در نقطه \( \pi \)  به صورت زیر تکرار خواهد شد:

\(  f^{(5)} (\pi) = 0  , f^{(6)} (\pi) = 1  , f^{(7)} (\pi) = 0  , f^{(8)} (\pi) = -1  , f^{(9)} (\pi) = 0  , \cdots  \)

بنابراین سری تیلور تابع \( \cos x \) در نقطه \( x= \pi \)‌ با جایگذاری مقادیر فوق در فرمول، به صورت زیر خواهد بود:

\( \begin{align*}  \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} (\pi) \frac{(x-\pi)^{n}}{n!} &= f(\pi) + f^{\prime} (\pi) (x-\pi) + f^{\prime\prime} (\pi) \frac{(x-\pi)^{2}}{2!}  + f^{(3)} (\pi) \frac{(x-\pi)^{3}}{3!} + \cdots \\  &= -1 +  (0) (x-\pi) + 1\times \frac{(x-\pi)^{2}}{2!}  + 0 \times \frac{(x-\pi)^{3}}{3!} - 1 \times \frac{(x-\pi)^{4}}{4!} + 0 \times \frac{(x-\pi)^{5}}{5!} \\ & \qquad + 1 \times \frac{(x-\pi)^{6}}{6!} + 0 \times \frac{(x-\pi)^{7}}{7!} - 1 \times \frac{(x-\pi)^{8}}{8!} + 0 \times \frac{(x-\pi)^{9}}{9!} + \cdots  \\ & = -1 +\frac{(x-\pi)^{2}}{2!} -  \frac{(x-\pi)^{4}}{4!} + \frac{(x-\pi)^{6}}{6!} -\frac{(x-\pi)^{8}}{8!} + \cdots \\ & = -1 +\frac{1}{2!} (x-\pi)^{2} -  \frac{1}{4!} (x-\pi)^{4}+ \frac{1}{6!} (x-\pi)^{6} -\frac{1}{8!} (x-\pi)^{8} + \cdots \end{align*} \)

این چندجمله‌ای سری تیلور تابع \( \cos x \) حول نقطه \( x= \pi \)‌ می‌باشد. هرچه تعداد مراتب مشتق را بیشتر کنیم، دقت تخمین سری بیشتر خواهد شد و منحنی چندجمله‌ای بر منحنی تابع منطبق‌تر خواهد شد.

در شکل زیر شما نمودار سری‌های تیلور برای تابع \( \cos x \) در نقطه \( x= 0 \)‌ نمایش داده شده است. هرچه تعداد جملات بیشتری را انتخاب کنیم، تطابق دو منحنی بر هم بیشتر خواهد شد.

نمودار سری تیلور تابع کسینوس حول نقطه x=0 در سایت ریاضیات ایران

 حالا شما سری تیلور تابع \( \cos x \) در نقطه \( x= 0 \)‌ را محاسبه کنید و با شکل بالا آن را مقایسه کنید.

تمرین ۱: سری تیلور تابع \( f(x) = e^{x} \) در نقطه \( x= 0 \)‌ بیابید.

تمرین ۲: سری تیلور تابع \( f(x) = \sin x \) در نقطه \( x= 0 \)‌ بیابید.

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2021 9709-2 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2021 9709-2 With Mark Scheme بازدید (341)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2020 9709-1 With Solution Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2020 9709-1 With Solution بازدید (328)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics February March 2020 9709 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics February March 2020 9709 With Mark Scheme بازدید (372)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-3 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-3 With Mark Scheme بازدید (437)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-2 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-2 With Mark Scheme بازدید (393)
Cambridge International AS and A Level M...

فایل های تصادفی

Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2022 9709-1 With Solution Cambridge International AS and A Level M... بازدید (273)
...
نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل سوم- فایل word  شماره ۱ نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل سوم- فایل ... بازدید (2164)
نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل سوم- فایل ...
پاسخنامه پایانترم معادلات دیفرانسیل امیر کبیر (پلی تکنیک) شماره 1 پاسخنامه پایانترم معادلات دیفرانسیل امیر... بازدید (16758)
امتحان پایانترم معادلات دیفرانسیل شماره ...
پاسخ تشریحی پایان ترم معادلات دیفرانسیل صنعتی امیرکبیر دی ماه 1382 پاسخ تشریحی پایان ترم معادلات دیفرانسیل ... بازدید (15439)
جواب تشریحی کامل پایان ترم معادلات دیفرا...
آنالیز مختلط و کاربردهای آن، سیلور من، عمیدی آنالیز مختلط و کاربردهای آن، سیلور من، ع... بازدید (18345)
کتاب آنالیز مختلط و کاربردهای آن نوشته ر...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (78653)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (40018)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (37551)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (36372)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (34126)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
15158264

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا