تعریف فضای ضرب داخلی: فرض کنید که \(V\) یک فضای برداری بر روی میدان \(F\) باشد. تابع زیر را بر روی این فضای برداری تعریف می‌کنیم:

\(<. , .> : V \times V \rightarrow F\)

که در شرایط زیر صدق می‌کند:

۱. به ازای هر \( v \in V\) می‌گیریم:

 \(<v , v> \geq 0\)

۲. اگر \( v,u\in V\) باشد و هرگاه اسکالر \(a \in F\) می‌گیریم، داریم:

\(<au , v> = a<u , v>\)

۳. برای هر \(u,v,w \in V\) می‌گیریم، داریم:

\( <u+v , w> = <u , w> + <v , w>\)

۴. برای هر \(u \in V\) می‌گیریم داریم، اگر \(<u,u> = 0\) است و اگر تنها اگر \( u=0\) باشد.

در اینصورت این فضای برداری همراه با شریط بالا یک فضای ضرب داخلی است. 

مثال ۱. فرض کنید \(V\)  فضای برداری تمام توابع پیوسته حقیقی بر روی بازه \([-1,1]\) باشد. ثابت کنید که این فضای برداری همراه با تابع زیر یک فضای ضرب داخلی است.

\(<. , .> = v \times v \Longrightarrow \mathbb{R}\)

\(<f , g> =\int_{-1}^{1} f(x)g(x)dx \)

برای اثبات این موضوع که این فضا یک فضای ضرب داخلی است، باید ثابت کنیم که تابع مورد نظر یک ضرب داخلی است. لذا داریم:

۱. برای هر \( f(x) \in V \) می‌گیریم، داریم:

\(<f(x) , f(x)> = \int_{-1}^{1} f(x)f(x)dx = \int_{-1}^{1} f(x)^2 dx \)

که این مقدار انتگرال همواره بزرگتر مساوی صفر خواهد بود.

۲ .برای هر \(f(x),g(x),h(x) \in V\) می‌گیریم، داریم:

\(<f(x) + g(x) , h(x)>=\int_{-1}^{1} (f(x)+g(x))h(x)dx = \int_{-1}^{1} (f(x)h(x) + g(x) h(x)) dx = \int_{-1}^{1} f(x) h(x) dx + \int_{-1}^{1} g(x)h(x),d(x) = <f(x) , h(x)> + <g(x) , h(x)> \)

۳ .برای هر \(f(x),g(x) \in V\) و \(\lambda \in \mathbb{R}\) بگیریم، داریم:

\(<\lambda f(x),g(x)> = \int_{-1}^{1} \lambda f(x) g(x) dx = \lambda \int_{-1}^{1} f(x) g(x) dx = \lambda <f(x) , g(x)>\)

۴ .برای هر \(f(x),g(x)(n) \in V\) می‌گیریم، داریم:

\(<f(x),g(x)> = \int_{-1}^{1} f(x) g(x) dx = <g(x) , f(x)>\)

چون این توابع حقیقی مقدار هستند، همواره رابطه بالا برقرار خواهد بود.

ویژگی فضای ضرب داخلی: ویژگی‌های اساسی که بر روی فضای ضرب داخلی برقرارند عبارتند از:

فرض کنید که \(u \in V\) باشد و \(\lambda \in F\) یک اسکالر باشد. لذا داریم:

۱. برای هر \( u \in V\) داریم:

\(<0 , u> = 0\)

۲. برای هر \( u \in V\) می‌گیریم، داریم:

 \( <u , 0> =0\)

۳. برای هر \( u,v,w \in V\) می‌گیریم، داریم:

 \( <u , v+w> = <u , v> + <u , w>\)

۴. برای هر \( u,v \in V\) و \( \lambda \in F\) می‌گیریم، داریم:

 \(<u , \lambda w> = \overline{\lambda}<u , w> \)

تمرین ۱. ویژگی‌های ۱ تا ۴ را بر روی فضای ضرب داخلی ثابت کنید.

تعریف بردار یکه: هر بردار با طول واحد (یک) را بردار یکه می‌گوییم.

تعریف بردار جهت:  بردار یکه‌ای که موازی و هم جهت با بردار \(a\) باشد، بردار جهت \(a\) گویند. بردار جهت \(a\) را با نماد \(e_a\) نمایش می‌دهند و از رابطه زیر به دست می‌آورند:

\( e_a = \frac {1}{ |a|} \overrightarrow{a}\)

که در آن \(|a|\) نشان دهنده‌ی اندازه‌ (طول) بردار a می‌باشد.

یادآوری: اگر بردار a یک بردار سه بعدی به صورت \( a = (a_x , a_y , a_z)\) باشد، طول آن به صورت زیر محاسبه می‌شود:

\(|a| = \sqrt { a_{x}^2 + a_{y}^2 + a_{z}^2}\)

پس به طور خلاصه هر بردار، با یک کمیت عددی غیر منفی \(|a|\) که طول آن است و یک بردار یکه \(e_a\) که جهت آن را تعیین می‌کند، مشخص می‌شود. یعنی داریم:

\( a = | \alpha|{e_a}\)

بردارهای یکه‌ای که در راستای محورهای مختصات باشند، را بردارهای یکه مختصات گویند. در فضای سه بعدی بردارهای یکه عبارتند از:

\(\overrightarrow{i}\) بردار یکه در راستای محور x مختصات.

\(\overrightarrow{j}\) بردار یکه در راستای محور y مختصات.

\(\overrightarrow{k}\) بردار یکه در راستای محور z مختصات.

هر بردار دلخواه در فضای سه بعدی را می‌توان بر حسب این بردارهای یکه نمایش داد.

فرض کنید که \(\overrightarrow{a} = (a_x, a_y, a_z)\) برداری در فضای سه بعدی باشد. در اینصورت داریم:

\(\overrightarrow{a} = a_x \overrightarrow{i} + a_y \overrightarrow{j} + a_z \overrightarrow{k}\)

مثال ۱. بردارهای زیر را برحسب بردارهای یکه نمایش دهید.

۱. \(\overrightarrow{a} = (1,2,3) \rightarrow \overrightarrow{a} = \overrightarrow{i} + 2 \overrightarrow{j} + 3 \overrightarrow{k}\)

۲. \( \overrightarrow{b} = (5,6,7) \rightarrow \overrightarrow{b} = 5\overrightarrow{i} + 6 \overrightarrow{j} + 7 \overrightarrow{k}\)

۳. \(\overrightarrow{c} = (0,1,0) \rightarrow \overrightarrow{c} = 0\overrightarrow{i} + 1 \overrightarrow{j} + 0 \overrightarrow{k}\)

تمرین ۱. بردارهای زیر را برحسب بردارهای یکه مختصات نمایش دهید.

۱. \( \overrightarrow{a} = (5,0,2) \)

۲. \( \overrightarrow{b} = (3,1,2) \)

۳. \( ea+2b \)

۴. \(e_{2b} \)

۵. \(e_{3a}\)

۶. \(e_a +7b\)

ضرب داخلی: فرض کنید که \(V\) یک فضای برداری بر روی میدان \(F\) باشد. یک ضرب داخلی روی فضای برداری \(V\)  تابعی به شکل زیر می‌باشد:

\(<. , .> : V \times V \rightarrow F\)

که در آن هر زوج مرتب \((u,v)\) در \( V \times V\) را به اسکالری در میدان \(F\) می‌نگارد و همچنین در ویژگی‌های زیر صدق می‌کند:

۱. به ازای هر \( v \in V\) بگیریم، داریم:

 \( <v,v>   \geq 0 \)

۲. اگر \(v \in V\) باشد، در اینصورت \(<v,v>=0\) اگر و تنها اگر \(v=0\) باشد.

۳. برای هر \(u,v,w \in V\) می‌گیریم، داریم:

\( <u+v,w> = <u,w> + <v,w>\)

۴. برای هر \(u,v \in V\) و هر \(\alpha \in F\) می‌گیریم، داریم:

\(< \alpha u , v> = \alpha <u,v>\)

۵. برای هر \(u,v \in V\) می‌گیریم، داریم:

 \(<u , v> = \overline{<u , v>}\)

مثال ۱. فرض کنید \(V = \mathbb{R}^n\) باشد. ثابت کنید تابع زیر یک ضرب داخلی بر روی فضای برداری \( \mathbb{R}\) باشد:

\(<. , .> : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}\)

\(<(w_1 , ... , w_n) , (v_1 , ... , v_n)> = w_1 \overline{v_1} +... + w_n \overline{v_n}\)

برای بررسی ضرب داخلی بودن تابع بالا، کافی است ۴ شرط ضرب داخلی را برای آن بررسی کنیم. لذا داریم:

۱. برای هر \( v \in V\) می‌گیریم، داریم:

\(<(w_1 , ... , w_n) , (w_1 , w_2 , ... , w_n)> = \sum_{i = 1}^n w_i \overline{w_i} = \sum_{i=1}^n w_i^2 \)

که مجموع اعداد مثبت، عددی مثبت است.

۲. برای هر \( u,v,w \in V\) می‌گیریم، داریم:

\(<(u+v , w)> = <(u_1 + v_1 , ... , u_n + v_n) , (w_1 , ... , w_n)> = (u_1 +v_1) \overline{w_1} + ... + (u_n + v_n) \overline{w_n} = (u_1 \overline{w_1} + ... + u_n \overline{w_n}) + (v_1 \overline{w_1} + ... + v_n \overline{w_n}) = <u , w> + <v , w> \)

۳. برای هر \(u,v \in V\) و \( \lambda \in F\) می‌گیریم، داریم:

\(<\lambda v , w> = \lambda u_1 \overline{w_1} + ... + \lambda u_n \overline{w_n} = \lambda (u_1 \overline{w_1} + ... + u_n \overline{w_n}) = \lambda <v , w>\)

۴ .برای هر \(u,v \in V \) می‌گیریم، داریم:

\(<u , v> = u_1 \overline{v_1} + ... + u_n \overline{v_n} = \overline{\overline{u_1} v_1} + ... + \overline{\overline{u_n} v_n} = \overline{\overline{u_1} v_1 + ... \overline{u_n} v_n} = \overline{<u , v>}\)

تمرین ۱. فرض کنید که \(c_1 , ... c_n\) اعداد مثبت باشند. ثابت کنید که  تابع زیر یک ضرب داخلی بر روی  فضای برداری \(F^n\) می‌باشد.

\(<. , .> = F^n \times F^n \longrightarrow F\)

\(<(w_1 , ... , w_n) , (z_1 , ... , z_n)> = C_1w_1 \overline{z_1} + ... + c_n w_n \overline{z_n}\)

تمرین ۲. فرض کنید که \(V\) فضای برداری تمام توابع پیوسته حقیقی مقدار بر روی بازه \([1 , 1-]\) باشد. ثابت کنید تابع زیر یک ضرب داخلی بر روی  فضای برداری \(V\) می‌باشد.

\(<. , .>: V \times V \longrightarrow \mathbb{R}\)

\(<f,g> = \int_{-1}^{1} f(x)g(x) dx\)

تعریف دو بردار متعامد: فرض کنید که x و y دو بردار در فضای ضرب داخلی  \(V\) باشند. دو بردار x و y را متعامد گویند، هرگاه ضرب داخلی بین این دو بردار برابر صفر شود، یعنی

\(<x,y> = 0\)

وقتی دو بردار با یکدیگر متعامد هستند، آن را با نماد \(x \bot y\) نمایش می‌دهند.

مثال ۱. آیا دو بردار \( (0,5,1) \) و \( (1,0,0)\) متعامد هستند؟

برای اثبات تعامد بین این دو بردار در فضای \( \mathbb{R}^3\) به گونه زیر عمل می‌کنیم:

در ابتدا ضرب داخلی تعریف شده بر فضای \(\mathbb{R}^3\) را برای دو بردار \(a=(a_1 , a_2 , a_3)\) و \(b=(b_1 , b_2, b_3)\) به صورت زیر بیان می‌کنیم:

\(<a , b>= a_1 . b_1 + a_2 . b_2 + a_3 . b_3\)

با توجه به تعریف ضرب داخلی شرط متعامد بودن دو بردار را بررسی می‌کنیم. لذا داریم:

\((1,0,0).(0,5,1) = 1 \times 0 + 0 \times 5 + 0 \times 1\)

در نتیجه ضرب داخلی این دو بردار صفر است. لذا این دو بردار متعامد یا عمود بر هم هستند.

مثال ۲. برای اینکه دو بردار \((x^2 , -2 , 0) \) و \( (1 , x , 5)\) متعامد باشند. \(x\) چه مقادیری را می‌تواند شامل شود؟

چون دو بردار متعامد هستند، داریم:

\((x^2 , -2 , 0) . (1 , x , 5) = x^2 -2x + 0 \times 5 = 0 \rightarrow x(x-2) = 0 \Rightarrow \begin{cases}x = 0\\ x = -2\end{cases}\)

به ازای هر دو مقدار این دو بردار متعامد خواهند شد.

تمرین ۱. در چه شرایطی برای \(x\) دو بردار \(( x,1, 5x+1) , (2x , 0 , \frac{1}{5})\) متعامد هستند.

تمرین ۲. در چه شرایطی دو بردار \( (x^2 , 1, ,1, 0) \) و \( (x , 2x , 5, 0) \) متعامد خواهند شد.

وبژگی‌های ماتریس پایین مثلثی: در این مطلب سعی داریم، ویژگی‌های اساسی که بر روی ماتریس‌های پایین مثلثی برقرار می‌باشد، را بیان کنیم.

ویژگی ۱. فرض کنید \(A\) یک ماتریس پایین مثلثی از مرتبه \(n \times n\) باشد. \( \lambda \) یک اسکالر از میدان است. در اینصورت \( \lambda A\) هم یک ماتریس پایین مثلثی خواهد بود.

مثال ۱. فرض کنید که \(A\) یک ماتریس تعریف شده به صورت زیر و \( \lambda = 2i\) یک اسکالر از میدان باشد. در اینصورت \( \lambda A \) را محاسبه کرده و نوع این ماتریس را بیان کنید؟

\( A = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\1 & i & 0 \\ 2 & i+1 & 5i \end{bmatrix}  ⇒  \lambda A =2iA = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 2i & -2 & 0 \\ 4i & -2 + 2i & -10 \end{bmatrix} \)

همانطور که مشاهده می‌کنید، ماتریس حاصل شده باز هم یک ماتریس پایین مثلثی است، زیرا تمام درایه‌های بالای قطر اصلی آن صفر می‌باشند.

ویژگی ۲. فرض کنید که A و B دو ماتریس پایین مثلثی باشند. در اینصورت \(A+B\) یک ماتریس پایین مثلثی است.

مثال ۲. فرض کنید که A و B دو ماتریس پایین مثلثی تعریف شده به صورت زیر باشند. همچنین اسکالر \( \lambda = i\) را در نظر بگیرید. در اینصورت \( \lambda (A+B)\) را محاسبه کنید.

\( A = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\1 & 2 & 0 \\ 5 & 3 & 1 \end{bmatrix} \)

\( B = \begin{bmatrix}i & 0 & 0 \\i+1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

\( A+B = \begin{bmatrix}i & 0 & 0 \\i+2 & 2 & 0 \\ 7 & 3 & 2 \end{bmatrix}  ⇒ \lambda (A+B)= i(A+B) = \begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 \\-1+2i & 2i & 0 \\ 7i & 3i & 2i \end{bmatrix} \)

همانطور که مشاهده می‌کنید، ماتریس \(\lambda (A+B)\) باز هم یک ماتریس پايین مثلثی را تشکیل می‌دهد، چون درایه‌های بالای قطر اصلی آن صفر است.

ویژگی ۳. فرض کنید که A و B دو ماتریس پایین مثلثی هم مرتبه باشند. در اینصورت AB یک ماتریس پایین مثلثی خواهد بود.

مثال ۳. فرض کنید که  A و B دو ماتریس پایین مثلثی هم مرتبه که به صورت زیر تعریف شده است، باشند. در اینصورت \(AB\) را محاسبه کنید.

\( A = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\1 & 2 & 0 \\ 5 & 3 & 1 \end{bmatrix} , \:\:\: B = \begin{bmatrix}i & 0 & 0 \\i+1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

⇒ \( AB = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\1 & 2 & 0 \\ 5 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}i & 0 & 0 \\i+1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\2 & 0 & 0 \\ 7 & 3 & 0 \end{bmatrix} \)

همانطور که مشاهده می‌کنید حاصلضرب این دو ماتریس پایین مثلثی باز هم یک ماتریس پایین مثلثی خواهد بود.

ویژگی ۴. فرض کنید که A و B دو ماتریس پایین مثلثی هم مرتبه باشند. در اینصورت لزوما \(AB = BA\) نمی‌باشد.

تمرین ۱.  دو ماتریس پایین مثلثی مثال بزنید که نشان دهد لزوما \(AB = BA\) نخواهد بود.

ویژگی ۵. مجموعه تمام ماتریس‌های پایین مثلثی \( n\times n\) بر روی میدان \(F\) یک زیرحلقه از مجموعه تمام ماتریسهای \( n\times n\) بر روی همان میدان می‌باشد.

تمرین ۲. ویژگی‌ ۵ را ثابت کنید.