نام آزمون: میانترم ریاضی مهندسی

دانشگاه تهران

دانشکده علوم مهندسی

نیمسال دوم ۸۹-۱۳۸۸

تاریخ آزمون ۱۳۸۹/۰۳/۲۰

مدت آزمون ۱۱۰ دقیقه

سوال ۱:‌ ابتدا سری فوریه تابع \( f(x) = x \sin x\) را در بازه \( - \pi \le x \le \pi \) به دست آورده ( \( T = 2 \pi \) ) و به کمک آن سری عددی \( A \) را محاسبه کنید. (۳ نمره)

\( A = \frac{1}{1 \times 3} - \frac{1}{3 \times 5}  + \frac{1}{5 \times 7} - \frac{1}{7 \times 9} + \dots \)

سوال ۲:‌ تبدیل معکوس فوریه تابع زیر را محاسبه نمایید.  \( f(x) \) را به دست آورده و به کمک آن انتگرال \( I \) را محاسبه کنید. (۱/۵ نمره)

\( F^{-1} \left\{ \frac{ e^{-2i \alpha} }{ (3 + i \alpha)^{2} }  \right\} \)

سوال ۳) معادله دیفرانسیل مشتق جزئی مرتبه یک زیر را با توجه به شرط مرزی داده شده حل نمایید. (۲ نمره)

\( z \frac{\partial z}{ \partial x} + \frac{\partial z}{ \partial y} = y  ~~ ; ~~ z(x,2) = x \)

سوال ۴) میله باریک به طول ۱ واحد در نظر است. دمای اولیه نیمه سمت چپ میله ۱ واحد و نیمه سمت راست ۰/۵ واحد می‌باشد. محیط اطراف میله عایق بوده و هیچ گرمایی از نقاط ابتدایی و انتهایی آن منتقل نمی‌شود (یعنی گرادیان دما در این نقاط صفر است). در این صورت برای یافتن دما در هر لحظه خاص معادله دیفرانسیل مشتق جزئی زیر را خواهیم داشت. آنرا به کمک روش تفکیک متغیرها، با توجه به شرایط مرزی داده شده حل نمایید. در نهایت دمای حالت پایدار را نیز به دست آورید.  عادله دیفرانسیل زیر را با توجه به شرایط مرزی داده شده حل نمایید. (۳/۵ نمره)

\( \frac{ \partial^{2} u }{ \partial x^{2}} = \frac{ \partial u }{ \partial t}    ~~ ; ~~ 0 < x < 1 ~~; ~~ t > 0 \)

\( \left. \frac{ \partial u }{ \partial x} \right|_{x = 0} =0 ~~ ; ~~ \left. \frac{ \partial u }{ \partial x} \right|_{x = 1} = 0  \)

\( u(x,0) = f(x) = \begin{cases} 1 & 0 < x < 0.5 \\ 1 & 0.5 < x < 1 \end{cases} \)

با آرزوی موفقیت

نام آزمون: میانترم ریاضی مهندسی

دانشگاه تهران

دانشکده علوم مهندسی

نیمسال اول ۹۰-۱۳۸۹

تاریخ آزمون ۱۳۸۹/۰۹/۲۹

مدت آزمون ۱۱۰ دقیقه

سوال ۱:‌ ابتدا سری فوریه تابع \( f(x) \) را در بازه \( - \pi \le x \le \pi \) به دست آورده ( \( T = 2 \pi \) ) و به کمک آن سری عددی \( A \) را محاسبه کنید. (۲/۵ نمره)

\( f(x) = \left| \sin (x) \right| ~~~~ , ~~~~ A = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{4 n^{2} - 1} \)

سوال ۲:‌ ابتدا تبدیل فوریه تابع \( f(x) \) را به دست آورده و به کمک آن انتگرال \( I \) را محاسبه کنید. (۲/۵ نمره)

\( f(x) = \begin{cases} 1 - x^{2} & \left| x \right| < 1 \\ 0 & \left| x \right| > 1 \end{cases} ~~~ ; ~~~ I = \int_{0}^{ \infty } \frac{ (x \cos x - \sin x )^{2} }{ x^{6}  } dx \)

سوال ۳) پس از تبدیل معادله دیفرانسیل زیر به فرم استاندارد، جواب عمومی آن را به دست آورید. (۲/۵ نمره)

\( x^{2} u_{xx} + 2xyu_{xy} + y^{2} u_{yy} = 0 \)

سوال ۴) معادله دیفرانسیل زیر را با توجه به شرایط مرزی داده شده حل نمایید. (۲/۵ نمره)

\( \frac{ \partial u }{ \partial t}  = 2 \frac{ \partial^{2} u }{ \partial x^{2}}  ~~ ; ~~ -1 < x < 1 ~~; ~~ t > 0 \)

\( u(-1,t) = u(1,t) ~~~,~~~ \left. \frac{ \partial u }{ \partial x} \right|_{x = -1} = \left. \frac{ \partial u }{ \partial x} \right|_{x = 1} ~~~ , ~~~ u(x,0) = \left| x \right|  \)

با آرزوی موفقیت

نام آزمون: میانترم ریاضی مهندسی

دانشگاه تهران

دانشکده علوم مهندسی

نیمسال اول ۹۴-۱۳۹۳

تاریخ آزمون ۱۳۹۳/۰۸/۲۹

مدت آزمون ۳ ساعت

سوال ۱:‌ الف) تابع \( f(x) = x ( \pi - x ) \) را که در بازه \( 0 < x < \pi \) تعریف شده است، گسترش فرد داده و سری فوریه سینوسی آن را بیابید. (۱/۵ نمره)

ب) به کمک قسمت قبل با انتخاب یک \( x \)‌ مناسب، حاصل سری عددی زیر را به دست آورید. (۱ نمره)

\( A = \left( \frac{1}{1^{3}} - \frac{1}{5^{3}} \right) + \left( \frac{1}{7^{3}} - \frac{1}{11^{3}} \right) + \left( \frac{1}{13^{3}} - \frac{1}{517^{3}} \right) + \dots \)

سوال ۲:‌ الف) انتگرال فوریه تابع \( f(x) \) را به دست آورده، به کمک آن \( I \) را محاسبه کنید. (۱/۵ نمره)

\( f(x) = \begin{cases} \cos x & \left| x \right| < \frac{\pi}{2} \\ 0 & \left| x \right| > \frac{\pi}{2}  \end{cases} ~~ ; ~~ I = \int_{0}^{ \infty } \frac{ \cos x }{ \pi^{2} - 4 x^{2} } dx \)

ب) اگر \( \mathcal{F} (f(x)) = \hat{f} (\alpha) \) باشد، تبدیل فوریه \( x f(x-3) \) را بر حسب \( \hat{f} (\alpha) \) به دست آورید. (۱ نمره)

سوال ۳) تابع \( f(x) = x \) را بر حسب توابع ویژه مسأله اشتورم-لیوویل زیر بسط دهید. (۲ نمره)

\( y^{''} + \lambda y = 0 ~~ ;~~ 0 < x < 1 \)

\( \begin{cases} y(0) = 0 \\ y(1) + 2 y^{'} (1) = 0 \end{cases} \)

سوال ۴) مسأله حرارت زیر را حل کنید. (۳ نمره)

\( u_{t} = u_{xx} - x - \cos t ~~ ; ~~ 0 < x < 3 ~~; ~~ t > 0 \)

\( \begin{cases} u_{x}(0,t) = t ~~ ; ~~ u(3,t) = 3t - \sin t & B.C. \\ u(x,0) = 2 \cos \left( \frac{3 \pi x}{2} \right) + \frac{1}{3} x^{3} - 9 & I.C. \end{cases} \)

با آرزوی موفقیت

این آزمون آنلاین مطابق با آخرین تغییرات کتاب ریاضی پایه پنجم طراحی شده است. آزمون از صفحات ۱۲۶ تا ۱۲۹ ریاضی پایه پنجم ابتدایی، فصل هفتم درس اول جمع آوری و نمایش داده  می‌باشد.

سوالات آزمون به صورت چهارگزینه‌ای، جاخالی و ... هستند. سوالات از گنجینه سوالات انتخاب می‌شوند و هر بار که در آزمون شرکت کنید، سؤالات متفاوتی خواهید داشت. بدین ترتیب می‌توانید بارها در آزمون شرکت کنید.

شرکت در این آزمون برای همه رایگان است. ولی بهتر است در سایت ریاضیات ایران عضو شوید تا بتوانید همواره نتایج آزمون‌های خودتان رو ببینید.

این آزمون آنلاین مطابق با آخرین تغییرات کتاب ریاضی پایه پنجم طراحی شده است. آزمون از صفحات ۱۳۰ تا ۱۳۳ ریاضی پایه پنجم ابتدایی، فصل هفتم درس دوم میانگین می‌باشد.

سوالات آزمون به صورت چهارگزینه‌ای، جاخالی و ... هستند. سوالات از گنجینه سوالات انتخاب می‌شوند و هر بار که در آزمون شرکت کنید، سؤالات متفاوتی خواهید داشت. بدین ترتیب می‌توانید بارها در آزمون شرکت کنید.

شرکت در این آزمون برای همه رایگان است. ولی بهتر است در سایت ریاضیات ایران عضو شوید تا بتوانید همواره نتایج آزمون‌های خودتان رو ببینید.