عمل دوتايي
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 3 / 5
تعریف عمل دوتایی: فرض کنید G مجموعه‌ای ناتهی باشد. تابع \(*:G\times G \rightarrow G\) را که به ازای هر عضو \((x , y)\) از \( G\times G \) عضوی منحصر بفردی چون c از G را نسبت دهد، یک عمل دوتایی گویند. عمل دوتایی اعمال شده بر روی مجموعه G را معمولاً به صورت \( (G , *) \) یا به فرم معمولتر \( x*y \) نمایش می‌دهند.
\( G\times G \) حاصلضرب دکارتی مجموعه \( G \) در خودش می‌باشد. با توجه به تعریف، یک عمل دوتایی چون * روی یک مجموعه ناتهی G باید واجد شرایط زیر باشد:
۱. عمل دوتایی روی کل دامنه خود یعنی \( G\times G \) تعریف شده باشد.
۲. عمل دوتایی * یک تابع خوش تعریف از \( G\times G \) به توی G باشد یعنی به هر عضو \( G\times G \) عنصر یکتایی از G را نسبت می‌دهد.
۳. حاصل ترکیب دو عضو a و b تحت یک عمل دوتایی باید متعلق به G باشد. به عبارت دیگر، مجموعه G نسبت به عمل دوتایی خود بسته باشد.
عمل دوتایی را معمولاْ با نمادهای * یا \( \circ \) نشان می‌دهند.
مثال ۱. مجموعه اعداد حقیقی R را در نظر بگیرید. ضابطه عمل * را روی R به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
\(\forall a , b \in R , *(a , b) = a+b\)
که همان عمل جمع روی اعداد حقیقی است. چون عمل * تحت جمع معمولی بسته است لذا * یک عمل دوتایی است.
مثال ۲. مجموعه اعداد طبیعی را در نظر بگیرید. ضابطه * را بر روی اعداد طبیعی به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
\(\forall a , b \in \mathcal{N}, *(a , b) = a^b\)
با توجه به اینکه هر عدد طبیعی به توان یک عدد طبیعی باز هم عددی طبیعی است. لذا ضابطه بالا نسبت به عمل گفته شده بسته می‌باشد، پس يک عمل دوتایی است.
تمرین ۱. در مثال ۲ اگر مجموعه اعداد صحیح باشد آیا باز هم ضابطه مورد نظر یک عمل دوتایی خواهد بود؟
تمرین ۲. عمل * را در مجموعه اعداد گویا به صورت زیر تعریف می‌کنیم :
\(\forall a , b \in \mathcal{Q}, a*b=(\frac{a+b^2}{a-b})\)
تمرین ۳. عمل * را در مجموعه اعداد طبیعی به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
\(\forall a , b \in \mathcal{N}, *(a , b) = a-b\)