ویژگی‌های ماتریس پادمتقارن
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
ویژگی‌های ماتریس پاد متقارن: در این مطلب سعی داریم تمام ویژگی‌های واقع شده بر ماتریس‌های پاد متقارن را بیان کنیم.
ویژگی ۱. فرض کنید A و B دو ماتریس مربعی، پاد متقارن و \( \lambda \) یک اسکالر باشد. در اینصورت ماتریس‌های \( \lambda A \) و \( A+B \) پادمتقارن می‌باشند.
مثال ۱. دو ماتریس مربعی A و B را به صورت زیر تعریف می‌کنیم و همچنین اسکالر \( \lambda = 2i \) را در نظر بگیرید.
\( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & i \\ -1 & 0 & 1 \\ -i & -1 & 0 \end{bmatrix} \)
\( B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i \\ 0 & i & 0 \end{bmatrix} \)
نشان دهید کدامیک از این دو ماتریس، ماتریس متقارن و کدامیک ماتریس پادمتقارن است و عبارات \( A+B \) ،\( \lambda A \) و \( \lambda B \) را نیز محاسبه کرده و بگویید کدامیک متقارن یا پادمتقارن است.
بنا بر تعریف، برای اینکه یک ماتریس متقارن باشد کافی است درایه‌های آن ماتریس نسبت به قطر اصلی متقارن باشند. همچنین برای اینکه یک ماتریس پادمتقارن باشد کافی است درایه‌های روی قطر اصلی در درجه اول صفر باشند و در نهایت اینکه عناصر نسبت به قطر اصلی قرینه یکدیگر باشند. با توجه به این عبارات داریم، که ماتریس A یک ماتریس پادمتقارن است و ماتریس B یک ماتریس متقارن می‌باشند.
حال عبارات \( A+B \) ،\( \lambda A \) و \( \lambda B \) را محاسبه می‌کنیم، لذا داریم:
\( \lambda A = 2i \begin{bmatrix} 0 & 1 & i \\ -1 & 0 & 1 \\ -i & -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2i & -2 \\ -2i & 0 & 2i \\ -2 & -2i & 0 \end{bmatrix} \)
با توجه به تعریف یک ماتریس پاد متقارن، \( \lambda A \) پاد متقارن می‌باشد. همچنین داریم:
\( \lambda B = 2i \begin{bmatrix} 1 & 0 & i \\ 0 & 0 & i \\ 0 & i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2i & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 0 \end{bmatrix} \)
با توجه به تعریف یک ماتریس متقارن، \( \lambda B \) متقارن می‌باشد.
به عنوان تمرین \( \lambda (A+B) \) را محاسبه کنید و بیان کنید که آیا این ماتریس، یک ماتریس متقارن است یا پادمتقارن؟
ویژگی ۲. فرض کنید A و B دو ماتریس مربعی و پاد متقارن باشند. در اینصورت در حالت کلی \( AB \) یک ماتریس پادمتقارن نخواهد بود. زمانی که A و B تعویض پذیر باشند. در اینصورت \( AB \) متقارن خواهد بود. زیرا داریم.
\( (AB)^{T} = B^{T}A^{T} = (-B)(-A) = BA = AB \)
مثال ۲. فرض کنید که A و B دو ماتریس پادمتقارن و به صورت زیر تعریف شده باشند. نشان دهید که AB لزوماً پادمتقارن نخواهد بود.
\( A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)
\( B = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix} \)
در نتيجه ضرب ماتريس‌ها داريم:
\( AB = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)
در نتیجه ماتریس حاصل شده يك ماتريس پادمتقارن نخواهد بود، زیرا درایه‌های بر روی قطر اصلی آن صفر نمی‌باشد.
تمرین ۱. دو ماتریس پادمتقارن مثال بزنید که \( AB \) متقارن باشند.
ویژگی ۳. فرض کنید که \(A\) یک ماتریس مربعی و پادمتقارن باشد. در اینصورت به ازای هر \( n \in \mathbb{N} \) بگیریم، دو حالت زیر را خواهیم داشت:
۱. اگر n زوج باشد، آنگاه \( A^{n} \) متقارن است.
۲. اگر n فرد باشد، آنگاه \( A^{n} \) پادمتقارن است.
ویژگی ۴. فرض کنید \(A\) یک ماتریس مربعی و پادمتقارن باشد. تابع چندجمله‌ای \( f(x) \) را به صورت زیر در نظر بگیرید:
\( f(x) = a_{n} x^{N} + ... + a_1 x+a_0 \)
در این صورت دو حالت زیر را داریم:
۱. اگر تابع \( f(x) \) شامل توان‌های فرد و همچنین ضریب ثابت صفر \( (a_0 = 0) \) باشد. در اینصورت \( f(x) \) یک ماتریس پادمتقارن خواهد بود.
۲. اگر تابع \( f(x) \) شامل توان‌های زوج باشد. در اینصورت \( f(A) \) ماتریس متقارن خواهد بود.
تمرین ۳. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی به صورت زیر باشد. به ازای توابع چندجمله‌ای زیر، \( f(A) \) را محاسبه کنید و نشان دهید که این ماتریس متقارن یا پادمتقارن است.
۱. \(f(x) = 2x^{2} + 5x^{4}\)
۲. \(f(x) = x+3\)
۳. \(f(x) = x^{2}+1\)
تمرین ۴. فرض کنید که \(A\) یک ماتریس مربعی دلخواه باشد. نشان دهید که ماتریس \(A\) را می‌توان به صورت مجموع دو ماتریس متقارن و پاد متقارن نمایش داد.