ویژگی‌های ماتریس پادمتقارن

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

ویژگی‌های ماتریس پاد متقارن: در این مطلب سعی داریم تمام ویژگی‌های واقع شده بر ماتریس‌های پاد متقارن را بیان کنیم.

ویژگی ۱. فرض کنید A و B دو ماتریس مربعی، پاد متقارن و \( \lambda \) یک اسکالر باشد. در اینصورت ماتریس‌های \( \lambda A \) و \( A+B \) پادمتقارن می‌باشند.

مثال ۱. دو ماتریس مربعی A و B را به صورت زیر تعریف می‌کنیم و همچنین اسکالر \( \lambda = 2i \) را در نظر بگیرید. 

\( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & i \\ -1 & 0 & 1 \\ -i & -1 & 0 \end{bmatrix} \)

\( B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i \\ 0 & i & 0 \end{bmatrix} \)

نشان دهید کدامیک از این دو ماتریس‌، ماتریس متقارن و کدامیک ماتریس پادمتقارن است و عبارات \( A+B \) ،\( \lambda A \) و \( \lambda B \) را نیز محاسبه کرده و بگویید کدامیک متقارن یا پادمتقارن است.

بنا بر تعریف، برای اینکه یک ماتریس متقارن باشد کافی است درایه‌های آن ماتریس‌ نسبت به قطر اصلی متقارن باشند. همچنین برای اینکه یک ماتریس پادمتقارن باشد کافی است درایه‌های روی قطر اصلی در درجه اول صفر باشند و در نهایت اینکه عناصر نسبت به قطر اصلی قرینه یکدیگر باشند. با توجه به این عبارات داریم، که ماتریس‌ A یک ماتریس پادمتقارن است و ماتریس‌  B یک ماتریس متقارن می‌باشند.

حال عبارات \( A+B \) ،\( \lambda A \) و \( \lambda B \) را محاسبه می‌کنیم، لذا داریم:

\( \lambda A = 2i \begin{bmatrix} 0 & 1 & i \\ -1 & 0 & 1 \\ -i & -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2i & -2 \\ -2i & 0 & 2i \\ -2 & -2i & 0 \end{bmatrix} \)

با توجه به تعریف یک ماتریس پاد متقارن، \( \lambda A \) پاد متقارن می‌باشد. همچنین داریم:

\( \lambda B = 2i \begin{bmatrix} 1 & 0 & i \\ 0 & 0 & i \\ 0 & i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2i & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 0 \end{bmatrix} \)

با توجه به تعریف یک ماتریس متقارن، \( \lambda B \) متقارن می‌باشد.

به عنوان تمرین \( \lambda (A+B) \) را محاسبه کنید و بیان کنید که آیا این ماتریس‌، یک ماتریس متقارن است یا پادمتقارن؟


ویژگی ۲. فرض کنید A و B دو ماتریس مربعی و پاد متقارن باشند. در اینصورت در حالت کلی \( AB \) یک ماتریس پادمتقارن نخواهد بود. زمانی که A و B تعویض پذیر باشند. در اینصورت \( AB \) متقارن خواهد بود. زیرا داریم.

\( (AB)^{T} = B^{T}A^{T} = (-B)(-A) = BA = AB \)

مثال ۲. فرض کنید که A و B دو ماتریس پادمتقارن و به صورت زیر تعریف شده باشند. نشان دهید که AB لزوماً پادمتقارن نخواهد بود.

\( A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)

\( B = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix} \)

در نتيجه ضرب ماتريس‌ها داريم:

\( AB = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)

در نتیجه ماتریس‌ حاصل شده يك ماتريس پادمتقارن نخواهد بود، زیرا درایه‌های بر روی قطر اصلی آن صفر نمی‌باشد.


تمرین ۱. دو ماتریس پادمتقارن مثال بزنید که \( AB \) متقارن باشند.


ویژگی ۳. فرض کنید که \(A\) یک ماتریس مربعی و پادمتقارن باشد. در اینصورت به ازای هر \( n \in \mathbb{N} \) بگیریم، دو حالت زیر را خواهیم داشت:

۱. اگر n زوج باشد، آنگاه \( A^{n} \) متقارن است.

۲. اگر n فرد باشد، آنگاه \( A^{n} \) پادمتقارن است.


ویژگی ۴. فرض کنید \(A\) یک ماتریس مربعی و پادمتقارن باشد. تابع چندجمله‌ای \( f(x) \) را به صورت زیر در نظر بگیرید:

\( f(x) = a_{n} x^{N} + ... + a_1 x+a_0 \)

در این صورت دو حالت زیر را داریم:

۱. اگر تابع \( f(x) \) شامل توان‌های فرد و همچنین ضریب ثابت صفر \( (a_0 = 0) \) باشد. در اینصورت \( f(x) \) یک ماتریس پادمتقارن خواهد بود.

۲. اگر تابع \( f(x) \) شامل توان‌های زوج باشد. در اینصورت \( f(A) \) ماتریس متقارن خواهد بود.


تمرین ۳. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی به صورت زیر باشد. به ازای توابع چندجمله‌ای زیر، \( f(A) \) را محاسبه کنید و نشان دهید که این ماتریس متقارن یا پادمتقارن است.

۱. \(f(x) = 2x^{2} + 5x^{4}\)

۲. \(f(x) = x+3\)

۳. \(f(x) = x^{2}+1\)


تمرین ۴. فرض کنید که \(A\) یک ماتریس مربعی دلخواه باشد. نشان دهید که ماتریس‌ \(A\) را می‌توان به صورت مجموع دو ماتریس متقارن و پاد متقارن نمایش داد.

نظرات (0)

امتیاز 0 خارج از 5 بر اساس 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

پروژه برنامه ریزی ریاضی غیر خطی با شرایط فازی با رویکرد برش الفا در بهینه سازی تابع هدف به همراه کد گمز Gams پروژه برنامه ریزی ریاضی غیر خطی با شرایط فازی با رویکرد برش الفا در بهینه سازی تابع هدف به همراه کد گمز Gams بازدید (661)
پروژه برنامه ریزی ریاضی غیر خطی با شرایط...
کنترل سرعت با سیستم منطق فازی در وسایل نقلیه خودران به همراه کد متلب کنترل سرعت با سیستم منطق فازی در وسایل نقلیه خودران به همراه کد متلب بازدید (572)
کنترل سرعت با سیستم منطق فازی در وسایل ن...
 حل تمرین کتاب ریاضی عمومی یک دکتر کرایه چیان: فصل پنجم حل تمرین کتاب ریاضی عمومی یک دکتر کرایه چیان: فصل پنجم بازدید (1602)
حل کلیه تمرینهای فصل پنجم کتاب ریاضی عمو...
جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۲ دانشگاه پیام نور - دکتر درویشی جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۲ دانشگاه پیام نور - دکتر درویشی بازدید (991)
جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۲ دکتر ...
جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۱ دانشگاه پیام نور - دکتر درویشی جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۱ دانشگاه پیام نور - دکتر درویشی بازدید (851)
جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۱ دکتر د...

فایل های تصادفی

پاسخ تشریحی میانترم ریاضی عمومی یک صنعتی شریف 13950918 پاسخ تشریحی میانترم ریاضی عمومی یک صنعتی... بازدید (16131)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی عمومی یک دانشگ...
کلید آزمون ریاضی 2، ریاضی عمومی2، ریاضی کاربردی1، رشته شیمی، مهندسی کامپیوتر و ... پیام نور نیم سال اول 92-1391 کلید آزمون ریاضی 2، ریاضی عمومی2، ریاضی ... بازدید (16941)
کلید آزمون ریاضی 2، ریاضی عمومی2، ریاض...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری... بازدید (32623)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
 جزوه احتمال دکتر خزایی دانشگاه صنعتی شریف ترم اول 1396 جزوه احتمال دکتر خزایی دانشگاه صنعتی شر... بازدید (13727)
جزوه احتمال دکتر خزایی دانشگاه صنعتی شر...
دو فصل اول کتاب خودآموز سریع متلب (MATLAB) استاد مس فروش دو فصل اول کتاب خودآموز سریع متلب (MATLA... بازدید (4981)
مقدمه و فهرست مطالب به همراه دو فصل اول ...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (69870)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (38759)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (36340)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (32872)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (32623)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها با وبگذر

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا