پایان ترم ریاضی عمومی یک دانشگاه صنعتی شریف خرداد 1401 با پاسخ تشریحی
- مقطع تحصیلی: عمومی
نام آزمون: پایانترم ریاضی عمومی یک با پاسخ تشریحی
دانشگاه: صنعتی شریف
دانشکده علوم ریاضی
استاد: همه گروه ها
نیمسال دوم 01-1400
تاریخ برگزاری: خرداد 1401
وقت ۳ ساعت
دانلود فایل PDF پایانترم (همین آزمون)
دانلود پاسخ تشریحی سوالات آزمون پایانترم (همین آزمون)
- تنها به پاسخ‌هایی نمره کامل تعلق می‌گیرد که دلایل و توضیحات به طور کامل ذکر شده باشد.
سؤال ۱. اگر وارون تابع \( f \) توسط ضابطه \( \frac{x-1}{x+1} \) داده شده باشد و وارون تابع \( g \) توسط ضابطه \( \frac{2x-1}{x-1} \) داده شده باشد، دامنه و برد تابع‌های \( f \) و \( g \) را مشخص کنید و سپس وارون تابع \( fog \) که از ترکیب توابع \( f \) و \( g \) حاصل شده است را به دست آورید. (۵ نمره)
\( F(x) =\displaystyle \int_{-2}^{x^2 -1} \sqrt[3]{t^3 - 3 t^2 } dt \)
سؤال ۲. مطلوب است محاسبه دو حد زیر: (۱۰ نمره)
\( \displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t^{3} +4} -2 }{t^{3}} \)
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) -x }{x^{3}} \)
سؤال ۳. مطلوب است محاسبه \( y^{\prime\prime} \) در تابع ضمنی \( xy + e^{y} = e \) وقتی \( x = 0 \) است. (۵ نمره)
سؤال ۴. به داخل مخزن آبی به شکل یک مخروط وارونه با مقطع دایره‌ای به شعاع ۳ متر و ارتفاع ۶ متر به طور پیوسته آب با نرخ ۴ متر مکعب د دقیقه پمپ می‌شود. وقتی ارتفاع آب ۵ متر است نرخ تغییر ارتفاع آب بر حسب متر بر دقیقه چقدر است؟ (۱۰ نمره)
سؤال ۵. مطلوب است محاسبه انتگرال‌های نامعین زیر : (۱۶ نمره)
\( \displaystyle \int \frac{\sqrt{x}}{1+x^{3}} dx \)
\( \displaystyle \int \arctan{(x)} dx \)
\( \displaystyle \int \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x^{2}} dx \)
\( \displaystyle \int \frac{x^{3}+2x}{x^{4}+4x^{2} + 3} dx \)
سؤال ۶. مقدار انتگرال ناسره زیر را محاسبه کنید. (۹ نمره)
\( \displaystyle \int_{0}^{1} (\ln {x})^{2} dx \)
سؤال ۷. در مورد همگرایی یا واگرایی هر کدام از سری‌های زیر با ذکر دلیل تصمیم بگیرید. (۱۵ نمره)
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3} + 2n + 5}\)
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{2n^{2} + 3n -1}{\sqrt{n^{4} + 2}}\)
\( \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{\sqrt{n} \ln {n}}\)
\( \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{{n} (\ln {n})^2}\)
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3n -4 }{5n+1} \right)^{n} \)
سؤال ۸. مطلوب است محاسبه شعاع همگرایی و دامنه همگرایی سری توانی زیر: (۱۰ نمره)
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{2^{n} }{\sqrt{2n-1}} (x-5)^n\)
سؤال ۹. با استفاده از مشتق‌گیری از سری هندسی \( \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} \) مقدار دقیق سری زیر را به دست آورید. (۵ نمره)
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2} }{2^{n} }\)
سؤال ۱۰. سری مک‌لورن تایع \( f(x) = (1+x)^{\frac{1}{3}} \) را پیدا کنید. شعاع همگرایی آن را محاسبه کنید. یا تخمین خطا با استفاده از نامساوی تیلور نشان دهید داخل شعاع همگرایی این سری با \( f(x) \) برابر است. (۱۵ نمره)
موفق باشید.
دانلود فایل PDF پایانترم (همین آزمون)
دانلود پاسخ تشریحی سوالات آزمون پایانترم (همین آزمون)
لیست نمونه سوالات دانشگاه صنعتی شریف
لیست جزوه های دانشگاه صنعتی شریف
لیست نمونه سوالات ریاضی عمومی سایر دانشگاه ها
لیست طبقه بندی شده نمونه سوالات دانشگاهی
لیست کتاب های ریاضی عمومی
