معادلات دیفرانسیل جداپذیر

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

به نام خدا

الـهم صل علی مـحمد و آل محـمد


ساده ترين شکل معادلات ديفرانسيل، معادلات جداپذير هستند. براي حل اين معادلات کافي است آن ها را به شکل استاندارد در آورده ، انتگرال بگيريم تا تابع مجهول به دست آيد.

معادله جداپذیر

شکل کلي يک معادله ديفرانسيل جداپذير اين گونه است:

يا

که در آن ها تابعي از x و تابعي از y است.

شکل استاندارد معادله ديفرانسيل جداپذیر نيز اين گونه است:

که در اين حالت ِ معادله، متغير هاي x و y ، از يکديگر جدا شده اند. يعني عبارات ِ شامل x در يک سمت علامت تساوي و عبارات شامل y در سمت ديگر آن آمده اند. به همين دليل است که اين معادلات را معادلات جداپذير مي گويند.

 

روش حل معادلات جداپذیر

حل اين معادلات بسيار ساده است. کافي است از عبارات شامل x ، نسبت به x و از عبارات شامل y ، نسبت به y انتگرال بگيريم.

پس جواب عمومي معادله جداپذير استاندارد اين گونه است :

 

مثال 1.2: معادله ي را حل کنيد.

حل : ابتدا بررسي مي کنيم آيا اين معادله جداپذير است يا خير؟ اگر بتوانيم آن را به صورت استاندارد جداپذير در آوريم، معادله جداپذير است.

پس معادله جداپذير است و جواب عمومي آن به صورت زير است:

چون c عدد ثابت است پس نيز ثابت است و مي توان آن را در نظر گرفت. پس جواب عمومي معادله ي مورد نظر است.

 

اثبات جواب عمومی :

براي اينکه ثابت کنيم عبارت ، جواب عمومي عبارت است، اينگونه عمل مي کنيم:

با اختيار تابع ، معادله ي به صورت زير در مي آيد:

اکنون اگر جواب معادله ديفرانسيل باشد داريم:

فرض کنيم q يک تابع اوليه براي h باشد يعني . در اين صورت داريم:

سمت چپ تساوي بالا، مشتق ِ تابع مرکب است . پس داريم:

اما . پس

و

که اين همان معادله ي است. heart

مثال 2.2: تحقيق کنيد آيا معادله ي ، جداپذير است يا خير سپس در صورتي که معادله جداپذير است، جواب عمومي آن را بيابيد :

حل :

بنابراين معادله جداپذير است. اکنون کافي است از طرفين انتگرال بگيريم:

که با استفاده از تکنيک هاي انتگرال گيري، جواب انتگرال هاي بالا به صورت زير خواهد بود :

که اين جواب عمومي معادله ي داده شده است.

مثال 3.2: معادله ديفرانسيل جداپذير را حل کنيد.

حل: شکل استاندارد اين معادله به صورت است. بنابراين جواب عمومي آن به صورت است. اما قابل محاسبه نيست و جواب عمومي به همين شکل باقي مي ماند.

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل  هشتم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز فصل هشتم بازدید (29)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز فصل هشتم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز فصل هشتم بازدید (129)
حل تمرین های فصل هشتم کتاب کار ریاضی پای...
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ها و سری های عددی آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ها و سری های عددی بازدید (654)
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ه...
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- انتگرالگیری ناسره آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- انتگرالگیری ناسره بازدید (667)
سوالات حل شده برای آمادگی امتحان ریاضی ع...
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل هفتم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل هفتم بازدید (1213)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...

فایل های تصادفی

کتاب حلقه توابع پیوسته دکتر استاجی کتاب حلقه توابع پیوسته دکتر استاجی... بازدید (5091)
کتاب حلقه توابع پیوسته دکتر استاجی عضو ه...
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی مهندسی 13910321 دکتر فتوحی دانشگاه صنعتی شریف پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی مهندسی 139103... بازدید (6500)
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی مهندسی 139103...
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعتی شریف 13901022 پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعت... بازدید (6324)
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعت...
پاسخ تشریحی المپیاد علمی ریاضی پایه نهم خراسان رضوی 27 بهمن 94 مرحله اول پاسخ تشریحی المپیاد علمی ریاضی پایه نهم ... بازدید (1809)
پاسخ تشریحی المپیاد علمی ریاضی پایه نهم ...
جزوه جبر دکتر هاشمی دانشگاه گیلان جزوه جبر دکتر هاشمی دانشگاه گیلان... بازدید (2917)
جزوه جبر دکتر هاشمی دانشگاه گیلان...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (29927)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (22715)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (21755)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (19988)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (19674)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا