معادلات دیفرانسیل جداپذیر

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

به نام خدا

الـهم صل علی مـحمد و آل محـمد


ساده ترين شکل معادلات ديفرانسيل، معادلات جداپذير هستند. براي حل اين معادلات کافي است آن ها را به شکل استاندارد در آورده ، انتگرال بگيريم تا تابع مجهول به دست آيد.

معادله جداپذیر

شکل کلي يک معادله ديفرانسيل جداپذير اين گونه است:

يا

که در آن ها تابعي از x و تابعي از y است.

شکل استاندارد معادله ديفرانسيل جداپذیر نيز اين گونه است:

که در اين حالت ِ معادله، متغير هاي x و y ، از يکديگر جدا شده اند. يعني عبارات ِ شامل x در يک سمت علامت تساوي و عبارات شامل y در سمت ديگر آن آمده اند. به همين دليل است که اين معادلات را معادلات جداپذير مي گويند.

 

روش حل معادلات جداپذیر

حل اين معادلات بسيار ساده است. کافي است از عبارات شامل x ، نسبت به x و از عبارات شامل y ، نسبت به y انتگرال بگيريم.

پس جواب عمومي معادله جداپذير استاندارد اين گونه است :

 

مثال 1.2: معادله ي را حل کنيد.

حل : ابتدا بررسي مي کنيم آيا اين معادله جداپذير است يا خير؟ اگر بتوانيم آن را به صورت استاندارد جداپذير در آوريم، معادله جداپذير است.

پس معادله جداپذير است و جواب عمومي آن به صورت زير است:

چون c عدد ثابت است پس نيز ثابت است و مي توان آن را در نظر گرفت. پس جواب عمومي معادله ي مورد نظر است.

 

اثبات جواب عمومی :

براي اينکه ثابت کنيم عبارت ، جواب عمومي عبارت است، اينگونه عمل مي کنيم:

با اختيار تابع ، معادله ي به صورت زير در مي آيد:

اکنون اگر جواب معادله ديفرانسيل باشد داريم:

فرض کنيم q يک تابع اوليه براي h باشد يعني . در اين صورت داريم:

سمت چپ تساوي بالا، مشتق ِ تابع مرکب است . پس داريم:

اما . پس

و

که اين همان معادله ي است. heart

مثال 2.2: تحقيق کنيد آيا معادله ي ، جداپذير است يا خير سپس در صورتي که معادله جداپذير است، جواب عمومي آن را بيابيد :

حل :

بنابراين معادله جداپذير است. اکنون کافي است از طرفين انتگرال بگيريم:

که با استفاده از تکنيک هاي انتگرال گيري، جواب انتگرال هاي بالا به صورت زير خواهد بود :

که اين جواب عمومي معادله ي داده شده است.

مثال 3.2: معادله ديفرانسيل جداپذير را حل کنيد.

حل: شکل استاندارد اين معادله به صورت است. بنابراين جواب عمومي آن به صورت است. اما قابل محاسبه نيست و جواب عمومي به همين شکل باقي مي ماند.

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی یک - روشهای انتگرالگیری آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی یک - روشهای انتگرالگیری بازدید (17)
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی یک - روشه...
حل تمرین های فصل پنجم کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز حل تمرین های فصل پنجم کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز بازدید (47)
حل تمرین های فصل پنجم کتاب کار ریاضی هشت...
پاسخ تشریحی المپیاد علمی ریاضی پایه نهم خراسان رضوی 26 بهمن 95 مرحله اول پاسخ تشریحی المپیاد علمی ریاضی پایه نهم خراسان رضوی 26 بهمن 95 مرحله اول بازدید (99)
پاسخ تشریحی المپیاد علمی ریاضی پایه نهم ...
پاسخ تشریحی المپیاد علمی ریاضی پایه نهم خراسان رضوی 27 بهمن 94 مرحله اول پاسخ تشریحی المپیاد علمی ریاضی پایه نهم خراسان رضوی 27 بهمن 94 مرحله اول بازدید (108)
پاسخ تشریحی المپیاد علمی ریاضی پایه نهم ...
جزوه جبر یک دکتر خسروی دانشگاه صنعتی امیرکبیر 96-97 جزوه جبر یک دکتر خسروی دانشگاه صنعتی امیرکبیر 96-97 بازدید (116)
جزوه جبر یک دکتر خسروی دانشگاه صنعتی امی...

فایل های تصادفی

نظریه گراف ها و کابردهای آن، باندی نظریه گراف ها و کابردهای آن، باندی... بازدید (10641)
Geraph Theory ، مترجم حمید ضرابی زاده...
آنالیز عددی 1 پیام نور دکتر بابلیان آنالیز عددی 1 پیام نور دکتر بابلیان... بازدید (12673)
کتاب آنالیز عددی 1 پیام نور نوشته دکتر ا...
مقدمه و فهرست مطالب آنالیز عددی 1 کرایه چیان مقدمه و فهرست مطالب آنالیز عددی 1 کرایه ... بازدید (9134)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب آنالیز عددی 1 د...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل هفتم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب... بازدید (309)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب...
جزوه محاسبات عددی، شریف، سال 88-87، جزوه محاسبات عددی، شریف، سال 88-87،... بازدید (10009)
جزوه دست نویس محاسبات عددی ، دانشگاه صنع...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (25333)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (20162)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (19179)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (17480)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (16972)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا