ویژگی‌‌های ماتریس‌های هرمیتی و هرمیتی کج

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

ویژگی‌‌های ماتریس‌های هرمیتی و هرمیتی کج

 در این مطلب سعی داریم ویژگی‌هایی که بر روی ماتریس‌های هرمیتی و هرمیتی کج را بررسی کنیم. 

ویژگی ۱. اگر A یک ماتریس مربعی از مرتبه \(n \times n\) باشد. در اینصورت عبارات زیر را داریم: 

  • ماتریس \(A+\overline{A^t}\) یک ماتریس هرمیتی است. زیرا داریم: 

\(\overline{(A+ \overline{A^t})^t}= \overline{A^t + (\overline{A^t})^t}=\overline{A^t} + \overline{\overline{(A^t)^t}}= \overline{A^t} + \overline{\overline{A}}= \overline{A^t} + A\)

در نتیجه ماتریس A یک ماتریس هرمیتی است. 

  • ماتریس \(A-\overline{A^t}\) یک ماتریس هرمیتی کج است. زیرا داریم: 

\(\overline{(A-\overline{A^t})^t}= \overline{A^t - (\overline{A^t})^t}=\overline{A^t} - \overline{(\overline{A^t})^t}=\overline{A^t} - \overline{\overline{(A^t)^t}}=\overline{A^t} - \overline{\overline{A}}=\overline{A^t} - A=-(A-\overline{A^t})\)


مثال ۱. فرض کنید که A یک  ماتریس مربعی به شکل زیر باشد. نشان دهید که \(A+\overline{A^t}\)  و \(A- \overline{A^t}\) ماتریس هرمیتی و ماتریس هرمیتی کج می‌باشند.

\(A=\begin{bmatrix}1&i\\0&2 \end{bmatrix}\)

برای اینکه نشان دهیم ماتریسهای \(A+\overline{A^t}\) و \(A-\overline{A^t}\) ماتریس هرمیتی و ماتریس هرمیتی کج هستند، اینگونه عمل می‌کنیم:

 \(A^t= \begin{bmatrix} 1&0\\i&2\end{bmatrix}\) ⇒ \(\overline{A^t}=\begin{bmatrix}1&0\\-i&2\end{bmatrix}\) ⇒ \(A+ \overline{A^t}=\begin{bmatrix}1&i\\0&2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1&0\\-i&2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2&i\\-i&4\end{bmatrix}=C\)

حال نشان می‌دهیم که \(A+\overline{A^t}\) هرمیتی است. لذا داریم:

\(C^t =\begin{bmatrix}2&-i\\i&4\end{bmatrix}\) ⇒ \(\overline{C^t}=\begin{bmatrix}2&i\\-i&4\end{bmatrix}=C\)

لذا یک ماتریس هرمیتی است. 

حال ماتریس \(A-\overline{A^t}\) را به دست می‌آوریم:

\(A-\overline{A^t}=\begin{bmatrix}1&i\\0&2\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}1&0\\-i&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&i\\-i&4\end{bmatrix}=D\)

بررسی می‌کنیم که ماتریس حاصل شده یک ماتریس هرمیتی کج است. پس داریم:

\(D^t=\begin{bmatrix}2&-i\\i&4\end{bmatrix}\) ⇒ \(\overline{D^t}=\begin{bmatrix}2&i\\-i&4\end{bmatrix}=D\)

پس یک ماتریس هرمیتی کج است. 


ویژگی ۲. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی از مرتبه \(n \times n\) با درایه‌های مختلط باشد. در اینصورت این ماتریس را می‌توان به شکل مجموع دو ماتریس هرمیتی \(\frac{1}{2}(A + \overline{A^t})\) و ماتریس هرمیتی کج \(\frac{1}{2}(A-\overline{A^t})\) نوشت. 

تمرین ۱. نشان دهید که ماتریسهای زیر را می‌توان برحسب مجموع دو ماتریس به شکل ویژگی ۲ بیان نمود. 

۱. \(A=\begin{bmatrix}1&i&2\\3&i+1&5\\i&3&4\end{bmatrix}\)

۲. \(B=\begin{bmatrix}i&i+1\\2i+1&5i\end{bmatrix}\)


ویژگی ۳. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی از مرتبه \(n \times n\) باشد. در اینصورت داریم:

  • اگر ماتریس A یک ماتریس هرمیتی باشد. آنگاه \(\overline{A}\) یک ماتریس هرمیتی است. زیرا از اینکه A ماتریس هرمیتی است، داریم:

\(\overline{A^t}=A\)

در نتیجه \(\overline{\overline{A}^t}= \overline{A}\). پس \(\overline{A}\) یک ماتریس هرمیتی است. 

  • اگر ماتریس A یک ماتریس هرمیتی کج باشد. آنگاه \(\overline{A}\) یک ماتربس هرمیتی کج است. زیرا از اینکه A یک ماتریس هرمیتی است، داریم:

\(\overline{A^t}= -A\)

در نتیجه \(\overline{\overline{A}^t}=-\overline{A}\). پس \(\overline{A}\) یک ماتریس هرمیتی کج است .


تمرین ۲. نشان دهید که ماتریسهای \(\overline{A}\)  و \(\overline{B}\) ماتریس‌های هرمیتی و هرمیتی کج است. 

  • ۱. \(A=\begin{bmatrix}1&i&0\\-i&2&-2i\\0&2i&3\end{bmatrix}\) 
  • ۲. \(B=\begin{bmatrix}i&1-i\\-1-i&3i\end{bmatrix}\)

ویژگی ۴. فرض کنید که A یک ماتریس حقیقی و پادمتقارن یا مختلط و هرمیتی کج باشد. آنگاه \(±iA\) یک ماتریس هرمیتی است. 

تمرین ۳. نشان دهید که ویژگی ۴ برقرار است.


 ویژگی ۵. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی مختلط از مرتبه \(n\times n\) و هرمیتی باشد. در اینصورت ماتریسهای زیر هرمیتی هستند. 

\(A+\overline{A^t}\)      

 \(A\overline{A^t}\)   

  \(\overline{A^t}A\)


مثال ۲. فرض کنید که A یک ماتریس هرمیتی مختلط به شکل زیر باشد. ویژگی ۵ را بررسی کنید. 

\(A=\begin{bmatrix}i&i+1\\2i&3i\end{bmatrix}\)

ابتدا نشان می‌دهیم که \(\overline{A^t}A\)  یک ماتریس هرمیتی است. برای این موضوع داریم:

\(A^t=\begin{bmatrix}i&2i\\i+1&3i\end{bmatrix}\) ⇒ \(\overline{A^t}= \begin{bmatrix}-i&-2i\\-i+1&-3i\end{bmatrix}\)

⇒ \(\overline{A^t}A=\begin{bmatrix}-i&-2i\\-i+1&-3i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i&i+1\\2i&3i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+4&1-i+6\\1+i+6&1+1+9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5&7-i\\7+i&11\end{bmatrix}=C\)

که C یک ماتریس هرمیتی است. به عنوان تمرین ثابت کنید که \(A\overline{A^t}\) و \(A + \overline{A^t}\) ماتریس‌های هرمیتی هستند.


ویژگی ۶. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی از مرتبه \(n \times n\) و هرمیتی باشد. در اینصورت A را می‌توان به شکل منحصر به فردی چون \(B+iC\) نوشت که در آن B یک ماتریس متقارن و C یک ماتریس پادمتقارن حقیقی است. 


مثال ۳. فرض کنید که A یک ماتریس به شکل زیر باشد. نشان دهید ویژگی ۶ برقرار است. 

\(A=\begin{bmatrix}2&i\\-i&3\end{bmatrix} \)⇒ \(A=\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix} + i\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}=B+iC\)

که در آن B یک  ماتریس متقارن و C یک ماتریس پادمتقارن است. 


ویژگی ۷. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی از مرتبه \(n\times n\) و هرمیتی کج باشد. در اینصورت می‌توان  ماتریسهای B و C که منحصر به فرد هستند را به گونه‌ای یافت که \(A=B+iC\) باشد، که در آن B ماتریس پادمتقارن و C ماتریس متقارن حقیقی است. 


تمرین ۴. با یک مثال ویژگی ۷ رانشان دهید. 

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ها و سری های عددی آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ها و سری های عددی بازدید (190)
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ه...
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- انتگرالگیری ناسره آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- انتگرالگیری ناسره بازدید (244)
سوالات حل شده برای آمادگی امتحان ریاضی ع...
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل هفتم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل هفتم بازدید (729)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ بازدید (617)
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنع...
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ بازدید (884)
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریا...

فایل های تصادفی

یادگیری ریاضیات به عنوان زبان دوم جلد دوم دکتر میرزاوزیری یادگیری ریاضیات به عنوان زبان دوم جلد دو... بازدید (1106)
نسخه پی دی اف کتاب یادگیری ریاضیات به عن...
Graphs and Matrces مقدمه و فهرست مطالب Graphs and Matrces مقدمه و فهرست مطالب... بازدید (10717)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب گراف ها و ماتری...
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ها و سری های عددی آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ه... بازدید (190)
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ه...
هندسه منیفلد 1 دکتر بیدآباد، مقدمه و فهرست مطالب هندسه منیفلد 1 دکتر بیدآباد، مقدمه و فهر... بازدید (9875)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب هندسه منیفلد دک...
گذشته ای که می آید و چهار داستان دیگر دکتر میرزاوزیری گذشته ای که می آید و چهار داستان دیگر دک... بازدید (1155)
گذشته ای که می آید و چهار داستان دیگر دک...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (28892)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (22121)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (21151)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (19410)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (19049)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا