ویژگی‌‌های ماتریس‌های هرمیتی و هرمیتی کج

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

ویژگی‌‌های ماتریس‌های هرمیتی و هرمیتی کج

 در این مطلب سعی داریم ویژگی‌هایی که بر روی ماتریس‌های هرمیتی و هرمیتی کج را بررسی کنیم. 

ویژگی ۱. اگر A یک ماتریس مربعی از مرتبه \(n \times n\) باشد. در اینصورت عبارات زیر را داریم: 

  • ماتریس \(A+\overline{A^t}\) یک ماتریس هرمیتی است. زیرا داریم: 

\(\overline{(A+ \overline{A^t})^t}= \overline{A^t + (\overline{A^t})^t}=\overline{A^t} + \overline{\overline{(A^t)^t}}= \overline{A^t} + \overline{\overline{A}}= \overline{A^t} + A\)

در نتیجه ماتریس A یک ماتریس هرمیتی است. 

  • ماتریس \(A-\overline{A^t}\) یک ماتریس هرمیتی کج است. زیرا داریم: 

\(\overline{(A-\overline{A^t})^t}= \overline{A^t - (\overline{A^t})^t}=\overline{A^t} - \overline{(\overline{A^t})^t}=\overline{A^t} - \overline{\overline{(A^t)^t}}=\overline{A^t} - \overline{\overline{A}}=\overline{A^t} - A=-(A-\overline{A^t})\)


مثال ۱. فرض کنید که A یک  ماتریس مربعی به شکل زیر باشد. نشان دهید که \(A+\overline{A^t}\)  و \(A- \overline{A^t}\) ماتریس هرمیتی و ماتریس هرمیتی کج می‌باشند.

\(A=\begin{bmatrix}1&i\\0&2 \end{bmatrix}\)

برای اینکه نشان دهیم ماتریسهای \(A+\overline{A^t}\) و \(A-\overline{A^t}\) ماتریس هرمیتی و ماتریس هرمیتی کج هستند، اینگونه عمل می‌کنیم:

 \(A^t= \begin{bmatrix} 1&0\\i&2\end{bmatrix}\) ⇒ \(\overline{A^t}=\begin{bmatrix}1&0\\-i&2\end{bmatrix}\) ⇒ \(A+ \overline{A^t}=\begin{bmatrix}1&i\\0&2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1&0\\-i&2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2&i\\-i&4\end{bmatrix}=C\)

حال نشان می‌دهیم که \(A+\overline{A^t}\) هرمیتی است. لذا داریم:

\(C^t =\begin{bmatrix}2&-i\\i&4\end{bmatrix}\) ⇒ \(\overline{C^t}=\begin{bmatrix}2&i\\-i&4\end{bmatrix}=C\)

لذا یک ماتریس هرمیتی است. 

حال ماتریس \(A-\overline{A^t}\) را به دست می‌آوریم:

\(A-\overline{A^t}=\begin{bmatrix}1&i\\0&2\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}1&0\\-i&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&i\\-i&4\end{bmatrix}=D\)

بررسی می‌کنیم که ماتریس حاصل شده یک ماتریس هرمیتی کج است. پس داریم:

\(D^t=\begin{bmatrix}2&-i\\i&4\end{bmatrix}\) ⇒ \(\overline{D^t}=\begin{bmatrix}2&i\\-i&4\end{bmatrix}=D\)

پس یک ماتریس هرمیتی کج است. 


ویژگی ۲. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی از مرتبه \(n \times n\) با درایه‌های مختلط باشد. در اینصورت این ماتریس را می‌توان به شکل مجموع دو ماتریس هرمیتی \(\frac{1}{2}(A + \overline{A^t})\) و ماتریس هرمیتی کج \(\frac{1}{2}(A-\overline{A^t})\) نوشت. 

تمرین ۱. نشان دهید که ماتریسهای زیر را می‌توان برحسب مجموع دو ماتریس به شکل ویژگی ۲ بیان نمود. 

۱. \(A=\begin{bmatrix}1&i&2\\3&i+1&5\\i&3&4\end{bmatrix}\)

۲. \(B=\begin{bmatrix}i&i+1\\2i+1&5i\end{bmatrix}\)


ویژگی ۳. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی از مرتبه \(n \times n\) باشد. در اینصورت داریم:

  • اگر ماتریس A یک ماتریس هرمیتی باشد. آنگاه \(\overline{A}\) یک ماتریس هرمیتی است. زیرا از اینکه A ماتریس هرمیتی است، داریم:

\(\overline{A^t}=A\)

در نتیجه \(\overline{\overline{A}^t}= \overline{A}\). پس \(\overline{A}\) یک ماتریس هرمیتی است. 

  • اگر ماتریس A یک ماتریس هرمیتی کج باشد. آنگاه \(\overline{A}\) یک ماتربس هرمیتی کج است. زیرا از اینکه A یک ماتریس هرمیتی است، داریم:

\(\overline{A^t}= -A\)

در نتیجه \(\overline{\overline{A}^t}=-\overline{A}\). پس \(\overline{A}\) یک ماتریس هرمیتی کج است .


تمرین ۲. نشان دهید که ماتریسهای \(\overline{A}\)  و \(\overline{B}\) ماتریس‌های هرمیتی و هرمیتی کج است. 

  • ۱. \(A=\begin{bmatrix}1&i&0\\-i&2&-2i\\0&2i&3\end{bmatrix}\) 
  • ۲. \(B=\begin{bmatrix}i&1-i\\-1-i&3i\end{bmatrix}\)

ویژگی ۴. فرض کنید که A یک ماتریس حقیقی و پادمتقارن یا مختلط و هرمیتی کج باشد. آنگاه \(±iA\) یک ماتریس هرمیتی است. 

تمرین ۳. نشان دهید که ویژگی ۴ برقرار است.


 ویژگی ۵. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی مختلط از مرتبه \(n\times n\) و هرمیتی باشد. در اینصورت ماتریسهای زیر هرمیتی هستند. 

\(A+\overline{A^t}\)      

 \(A\overline{A^t}\)   

  \(\overline{A^t}A\)


مثال ۲. فرض کنید که A یک ماتریس هرمیتی مختلط به شکل زیر باشد. ویژگی ۵ را بررسی کنید. 

\(A=\begin{bmatrix}i&i+1\\2i&3i\end{bmatrix}\)

ابتدا نشان می‌دهیم که \(\overline{A^t}A\)  یک ماتریس هرمیتی است. برای این موضوع داریم:

\(A^t=\begin{bmatrix}i&2i\\i+1&3i\end{bmatrix}\) ⇒ \(\overline{A^t}= \begin{bmatrix}-i&-2i\\-i+1&-3i\end{bmatrix}\)

⇒ \(\overline{A^t}A=\begin{bmatrix}-i&-2i\\-i+1&-3i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i&i+1\\2i&3i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+4&1-i+6\\1+i+6&1+1+9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5&7-i\\7+i&11\end{bmatrix}=C\)

که C یک ماتریس هرمیتی است. به عنوان تمرین ثابت کنید که \(A\overline{A^t}\) و \(A + \overline{A^t}\) ماتریس‌های هرمیتی هستند.


ویژگی ۶. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی از مرتبه \(n \times n\) و هرمیتی باشد. در اینصورت A را می‌توان به شکل منحصر به فردی چون \(B+iC\) نوشت که در آن B یک ماتریس متقارن و C یک ماتریس پادمتقارن حقیقی است. 


مثال ۳. فرض کنید که A یک ماتریس به شکل زیر باشد. نشان دهید ویژگی ۶ برقرار است. 

\(A=\begin{bmatrix}2&i\\-i&3\end{bmatrix} \)⇒ \(A=\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix} + i\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}=B+iC\)

که در آن B یک  ماتریس متقارن و C یک ماتریس پادمتقارن است. 


ویژگی ۷. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی از مرتبه \(n\times n\) و هرمیتی کج باشد. در اینصورت می‌توان  ماتریسهای B و C که منحصر به فرد هستند را به گونه‌ای یافت که \(A=B+iC\) باشد، که در آن B ماتریس پادمتقارن و C ماتریس متقارن حقیقی است. 


تمرین ۴. با یک مثال ویژگی ۷ رانشان دهید. 

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

آنالیز ریاضی درس و مساله، فراشاهی، میرزاوزیری آنالیز ریاضی درس و مساله، فراشاهی، میرزاوزیری بازدید (16)
کتاب آنالیز ریاضی، درس ، مساله نوشته آرش...
حل تمرین کتاب ریاضی عمومی یک دکتر کرایه چیان: فصل اول حل تمرین کتاب ریاضی عمومی یک دکتر کرایه چیان: فصل اول بازدید (134)
حل تمرین کتاب ریاضی عمومی یک دکتر کرایه ...
حل تمرین های کتاب کارپوچینو ریاضی هشتم فصل اول حل تمرین های کتاب کارپوچینو ریاضی هشتم فصل اول بازدید (102)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی کارپوچینو پا...
جزوه توپولوژی دکتر شهشهانی دانشگاه صنعتی شریف بهار ۱۳۹۵ جزوه توپولوژی دکتر شهشهانی دانشگاه صنعتی شریف بهار ۱۳۹۵ بازدید (295)
فایل جزوه توپولوژی دکتر شهشهانی دانشگاه ...
راهنما و تشریح المسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و کاربردهای آن، جورج اف سیمونز، لطفی، مهدیانی راهنما و تشریح المسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و کاربردهای آن، جورج اف سیمونز، لطفی، مهدیانی بازدید (748)
کتاب راهنما و حل المسائل معادلات دیفرانس...

فایل های تصادفی

مقدمه و فهرست مطالب تحقیق در عملیات 1 پیام نور مقدمه و فهرست مطالب تحقیق در عملیات 1 پی... بازدید (10870)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب تحقیق در عملیات...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل اول حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب... بازدید (2763)
حل تمرین های فصل اول کتاب کار ریاضی هفتم...
حل المسائل نخستین درس در جبر مجرد فرالی به زبان اصلی (انگلیسی) حل المسائل نخستین درس در جبر مجرد فرالی ... بازدید (6818)
حل المسائل زبان اصلی (انگلیسی) کتاب نخست...
جزوه ریاضی عمومی 1 دکتر بهرامیان دانشگاه کاشان جزوه ریاضی عمومی 1 دکتر بهرامیان دانشگاه... بازدید (10776)
جزوه ریاضی عمومی یک دکتر بهرامیان دانشگا...
کتاب قلب در نگاه دکتر میرزاوزیری کتاب قلب در نگاه دکتر میرزاوزیری... بازدید (2987)
کتاب قلب در نگاه دکتر میرزاوزیری ...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (35595)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (26074)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (25110)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (23343)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (22980)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا