معادلات دیفرانسیل مرتبه اول شدنی: بخش دوم

رای دهی: 0 / 5

غیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

به نام خدا

الهم صل علی محمد و آل محمد


دسته دوم معادلات قابل تبدیل به مرتبه اول:

به شکل کلي معادله ديفرانسيل زير دقت کنيد :

اين معادله نشان دهنده ي يک معادله ديفرانسيل ِ مرتبه دوم است که متغير x در آن ظاهر نشده است.

چگونگي حل اينکونه معادلات :

براي حل اين گونه معادلات از تغيير متغير کمک مي گيريم. با اين انتخاب خواهيم داشت :

اگر در معادله ي ، تغيير متغيررا اعمال کنيم به معادله اي مانند مي رسيم که اين معادله ، يک معادله ي مرتبه اول است که y به عنوان متغير مستقل ِ آن و u به عنوان متغير وابسته در نظر گرفته مي شود. پس از آن که اين معادله را نسبت به y حل کرديم و رابطه ي بين u و y را يافتيم، تغيير متغير را برگردانده و با انتگرال گيري نسبت به x ، به جواب عمومي ِ معادله مي رسيم.

اگر اين کلي گويي برايتان نامفهوم است، مثال ها را دنبال کنيد.

مثال 25.2: معادله ديفرانسيل را حل کنيد.

حل: همان گونه که توجه داريد ، در اين معادله متغير x ظاهر نشده است. بنابراين تغيير متغير را انتخاب مي کنيم . پس بنابر آنچه گفته شد : .

بنابراين معادله ي داده شده به معادله ي زير تغيير شکل مي دهد :

که اين معادله ، يک معادله ي جداپذير است و جواب عمومي آن اين گونه است :

u = cy

اکنون تغيير متغير را بر مي گردانيم :

که باز هم به يک معادله ي جداپذير رسيديم. با حل آن سرانجام جواب زير به دست مي آيد :

که اين جواب عمومي معادله ي اصلي خواهد بود که در آن c و اعداد حقيقي دلخواه هستند.

مثال 26.2: جواب مسأله مقدار اوليه زير را به دست آوريد :

حل: ابتدا جواب عمومي معادله ديفرانسيل داده شده را به دست مي آوريم و سپس با شرايط داده شده، جواب خصوصي را از جواب عمومي بيرون مي کشيم.

با توجه به اينکه در ضابطه ي معادله، متغير x ظاهر نشده است پس تغيير متغير را انتخاب مي کنيم . پس .

. با جايگزاري اين دو در معادله ي اصلي خواهيم داشت :

که يک معادله ي خطي مرتبه اول است و داراي عامل انتگرال ساز ِ

مي باشد. پس جواب عمومي اين گونه است :

اکنون قرار مي دهيم :

که يک معادله ي جداپذير است و جواب عمومي آن به صورت زير است :

رابطه ي جواب عمومي مسأله است. اکنون با توجه به شرايط اوليه ي داده شده در صورت مثال، جواب مسأله مقدار اوليه را مي يابيم :

بنابراين جواب مساله ي مقدار اوليه اين گونه است :

به اميد اينکه در حل معادلات مرتبه اول مهارت کافي را کسب کرده باشيد، بحث در مورد معادلات ديفرانسيل مرتبه اول را در همين جا به پايان مي بريم . البته حتماً شما نيز پي برده ايد که براي کسب مهارت در حل معادلات ديفرانسيل، نياز است که در روش هاي انتگرال گيري ورزيده باشيد . چون ، همان گونه که مشاهده نموديد، حل يک معادله ديفرانسيل دست کم يک مورد انتگرال گيري نياز دارد.

در فصل بعدي به معادلات خطي مراتب بالاتر خواهيم پرداخت.

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل هفتم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل هفتم بازدید (189)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ بازدید (123)
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنع...
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ بازدید (431)
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریا...
حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز بازدید (722)
حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم...
جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانشگاه صنعتی شریف پاییز ۹۷ جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانشگاه صنعتی شریف پاییز ۹۷ بازدید (469)
جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانش...

فایل های تصادفی

جزوه جبر پیشرفته دکتر علائیان دانشگاه علم و صنعت ایران جزوه جبر پیشرفته دکتر علائیان دانشگاه عل... بازدید (2354)
جزوه جبر پیشرفته دکتر علائیان دانشگاه عل...
جزوه جبر 1 دکتر بهرامیان دانشگاه کاشان جزوه جبر 1 دکتر بهرامیان دانشگاه کاشان... بازدید (10158)
جزوه کامل جبر 1 دکتر بهرامیان دانشگاه کا...
جزوه ریاضی عمومی 2 صنعتی شریف دکتر فتوحی ترم دوم 96-97 جزوه ریاضی عمومی 2 صنعتی شریف دکتر فتوحی... بازدید (2420)
جزوه ریاضی عمومی دو دکتر فتوحی دانشگاه ص...
جزوه مبانی ریاضیات دکتر صال مصلحیان فردوسی مشهد جزوه مبانی ریاضیات دکتر صال مصلحیان فردو... بازدید (9016)
جزوه مبانی ریاضیات دکتر صال مصلحیان دانش...
مبانی ریاضیات، استیوارت، تال مبانی ریاضیات، استیوارت، تال... بازدید (9724)
کتاب مبانی ریاضیات، تالیف ایان استیوارت،...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (27654)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (21530)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (20524)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (18812)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (18391)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا