معادلات دیفرانسیل مرتبه اول شدنی: بخش دوم

رای دهی: 0 / 5

غیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

به نام خدا

الهم صل علی محمد و آل محمد


دسته دوم معادلات قابل تبدیل به مرتبه اول:

به شکل کلي معادله ديفرانسيل زير دقت کنيد :

اين معادله نشان دهنده ي يک معادله ديفرانسيل ِ مرتبه دوم است که متغير x در آن ظاهر نشده است.

چگونگي حل اينکونه معادلات :

براي حل اين گونه معادلات از تغيير متغير کمک مي گيريم. با اين انتخاب خواهيم داشت :

اگر در معادله ي ، تغيير متغيررا اعمال کنيم به معادله اي مانند مي رسيم که اين معادله ، يک معادله ي مرتبه اول است که y به عنوان متغير مستقل ِ آن و u به عنوان متغير وابسته در نظر گرفته مي شود. پس از آن که اين معادله را نسبت به y حل کرديم و رابطه ي بين u و y را يافتيم، تغيير متغير را برگردانده و با انتگرال گيري نسبت به x ، به جواب عمومي ِ معادله مي رسيم.

اگر اين کلي گويي برايتان نامفهوم است، مثال ها را دنبال کنيد.

مثال 25.2: معادله ديفرانسيل را حل کنيد.

حل: همان گونه که توجه داريد ، در اين معادله متغير x ظاهر نشده است. بنابراين تغيير متغير را انتخاب مي کنيم . پس بنابر آنچه گفته شد : .

بنابراين معادله ي داده شده به معادله ي زير تغيير شکل مي دهد :

که اين معادله ، يک معادله ي جداپذير است و جواب عمومي آن اين گونه است :

u = cy

اکنون تغيير متغير را بر مي گردانيم :

که باز هم به يک معادله ي جداپذير رسيديم. با حل آن سرانجام جواب زير به دست مي آيد :

که اين جواب عمومي معادله ي اصلي خواهد بود که در آن c و اعداد حقيقي دلخواه هستند.

مثال 26.2: جواب مسأله مقدار اوليه زير را به دست آوريد :

حل: ابتدا جواب عمومي معادله ديفرانسيل داده شده را به دست مي آوريم و سپس با شرايط داده شده، جواب خصوصي را از جواب عمومي بيرون مي کشيم.

با توجه به اينکه در ضابطه ي معادله، متغير x ظاهر نشده است پس تغيير متغير را انتخاب مي کنيم . پس .

. با جايگزاري اين دو در معادله ي اصلي خواهيم داشت :

که يک معادله ي خطي مرتبه اول است و داراي عامل انتگرال ساز ِ

مي باشد. پس جواب عمومي اين گونه است :

اکنون قرار مي دهيم :

که يک معادله ي جداپذير است و جواب عمومي آن به صورت زير است :

رابطه ي جواب عمومي مسأله است. اکنون با توجه به شرايط اوليه ي داده شده در صورت مثال، جواب مسأله مقدار اوليه را مي يابيم :

بنابراين جواب مساله ي مقدار اوليه اين گونه است :

به اميد اينکه در حل معادلات مرتبه اول مهارت کافي را کسب کرده باشيد، بحث در مورد معادلات ديفرانسيل مرتبه اول را در همين جا به پايان مي بريم . البته حتماً شما نيز پي برده ايد که براي کسب مهارت در حل معادلات ديفرانسيل، نياز است که در روش هاي انتگرال گيري ورزيده باشيد . چون ، همان گونه که مشاهده نموديد، حل يک معادله ديفرانسيل دست کم يک مورد انتگرال گيري نياز دارد.

در فصل بعدي به معادلات خطي مراتب بالاتر خواهيم پرداخت.

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی یک - روشهای انتگرالگیری آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی یک - روشهای انتگرالگیری بازدید (17)
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی یک - روشه...
حل تمرین های فصل پنجم کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز حل تمرین های فصل پنجم کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز بازدید (47)
حل تمرین های فصل پنجم کتاب کار ریاضی هشت...
پاسخ تشریحی المپیاد علمی ریاضی پایه نهم خراسان رضوی 26 بهمن 95 مرحله اول پاسخ تشریحی المپیاد علمی ریاضی پایه نهم خراسان رضوی 26 بهمن 95 مرحله اول بازدید (99)
پاسخ تشریحی المپیاد علمی ریاضی پایه نهم ...
پاسخ تشریحی المپیاد علمی ریاضی پایه نهم خراسان رضوی 27 بهمن 94 مرحله اول پاسخ تشریحی المپیاد علمی ریاضی پایه نهم خراسان رضوی 27 بهمن 94 مرحله اول بازدید (108)
پاسخ تشریحی المپیاد علمی ریاضی پایه نهم ...
جزوه جبر یک دکتر خسروی دانشگاه صنعتی امیرکبیر 96-97 جزوه جبر یک دکتر خسروی دانشگاه صنعتی امیرکبیر 96-97 بازدید (116)
جزوه جبر یک دکتر خسروی دانشگاه صنعتی امی...

فایل های تصادفی

مقدمه و فهرست مطالب آنالیز عددی 1 کرایه چیان مقدمه و فهرست مطالب آنالیز عددی 1 کرایه ... بازدید (9134)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب آنالیز عددی 1 د...
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل دوم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف... بازدید (6599)
حل تمرین های فصل دوم کتاب کار ریاضی هشتم...
آنالیز ریاضی 1 پیام نور دکتر مدقالچی، مقدمه و فهرست مطالب آنالیز ریاضی 1 پیام نور دکتر مدقالچی، مق... بازدید (8790)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب آنالیز ریاضی 1 ...
Construction of solitary solution and compacton-like solution... Construction of solitary solution and co... بازدید (9338)
نام کامل مقاله: Construction of solitary...
قتل در فانوس دریایی؛ دکتر میرزاوزیری قتل در فانوس دریایی؛ دکتر میرزاوزیری... بازدید (12730)
در این داستان به ارائه‌ی کاربردی از منطق...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (25333)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (20162)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (19179)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (17480)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (16972)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا