ویژگی ماتریس‌های متقارن

مقطع تحصیلی: دوره دوم متوسطه
غیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

ویژگی‌ ماتریس‌های متقارن: در این مطلب سعی داریم، ویژگی‌‌هایی را که بر روی ماتریس‌های متقارن صدق می‌کنند، را بیان کنیم.

ویژگی ۱. فرض کنید که \(A\) و \(B\) دو ماتریس مربعی و متقارن باشند. در اینصورت \( A+B \) متقارن خواهد بود.

زیرا با توجه به ویژگی‌هایی که برای ترانهاده یک ماتریس و  ماتریس‌های متقارن \(A\) و \(B\)  گفته شد، داریم:

\( (A+B)^{T} = A^{T} + B^{T} = A + B \)


مثال ۱- فرض کنید که دو ماتریس متقارن \(A\) و \(B\) به صورت زیر بیان شده باشند.

\( A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)

\( B = \begin{bmatrix} i & o \\ 0 & i \end{bmatrix} \)

در اینصورت \( A + B \) متقارن نخواهد شد. زیرا با توجه به ویژگی ۱، برای اینکه مجموع دو ماتریس متقارن باشد، باید هر دو ماتریس‌ \(A\) و \(B\) متقارن باشند که در این مجموع، \(B\) متقارن نیست.


ویژگی ۲. اگر A ماتریس مربعی و متقارن باشد. در اینصورت \( \lambda A \) نیز برای اسکالر \( \lambda \) متقارن خواهد شد.


تمرین ۱. فرض کنید که \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 5 \\ 3 & 5 & 1 \end{bmatrix} \) و \( \lambda = i \) باشد. در اینصورت آیا  \( \lambda A \) متقارن است؟


ویژگی ۳. فرض کنید که \(A\) و \(B\) دو ماتریس متقارن باشند. در اینصورت \( AB \) در حالت کلی متقارن نخواهد بود. برای اینکه دو ماتریس‌ \( AB \) متقارن باشند، حتما باید این دو ماتریس‌ تعویض پذیر باشند. با توجه به ویژگی‌های ترانهاده یک ماتریس‌ داریم:

\( (AB)^{T} = B^{T} A^{T} \)

حال چون \(A\) و \(B\) متقارن هستند، لذا \( A^{T} = A \) ،\( B^{T} = B \) و اینکه \( AB = BA \) است. پس داریم:

\( B^{T} A^{T} = BA = AB \)


مثال ۲. فرض کنید دو ماتریس‌ \(A\) و \(B\) به صورت زیر بیان شده باشند. نشان دهید که \( AB \) لزوما متقارن نیست.

فرض کنید که دو ماتریس‌ A و B را به صورت زیر تعریف کرده باشیم:

\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \)

\( B = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \)

در اینصورت داریم:

⇒ \( AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 15 & 6 \end{bmatrix} \)

⇒ \( BA = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 15 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \)

پس در نتیجه \( AB \neq BA \) می‌باشد.


ویژگی ۴. فرض کنید که A یک ماتریس متقارن باشد. در اینصورت هر توانی از ماتریس‌ A هم متقارن خواهد شد. یعنی داریم:

\( \forall n \in N (A^{n})^{T} = (A^{T})^{n} = A^{n} \)


ویژگی ۵. فرض کنید که \(A\) یک ماتریس متقارن باشد، هرگاه \( f(x) \) یک تابع چندجمله‌ای به شکل زیر باشد:

\( f(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_0 \)

در اینصورت \( f(A) \) هم یک ماتریس متقارن خواهد بود.


مثال ۳. فرض کنید که \( A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} \) یک ماتریس متقارن باشد. همچنین تابع \( f(x) = x^2 + x \) را در نظر بگیرید. نشان دهید که \( f(A) \) هم متقارن است.

\( f(A) = A^2+A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 26 & 5 \\ 5 & 25 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 & 10 \\ 10 & 25 \end{bmatrix} \)

با توجه به تعریف ماتریس‌های متقارن می‌بینیم که ماتریس‌ حاصل شده نسبت به قطر اصلی متقارن می‌باشند.


تمرین ۲. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی باشد. آیا ماتریس \( AA^{T} \) متقارن است؟


تمرین ۳. فرض کنید که A و B ماتریس‌های مربعی باشند. آیا ماتریس \( AB^{T} - BA^{T} \) متقارن است؟


تمرین ۴. فرض کنید که A و B ماتریس‌های مربعی باشند. آیا ماتریس \( AB^{T} + B^{T}A \) متقارن است؟


تمرین ۵. فرض کنید که \( A = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 7 \\ 5 & 0 & i \\ 7 & i & i \end{bmatrix} \) باشد. نشان دهید که \( f(A) \) با تابع چندجمله‌ای  به‌ صورت زیر یک ماتریس متقارن است.

\( f(x) = x^3 + ix \)

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل  هشتم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز فصل هشتم بازدید (19)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز فصل هشتم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز فصل هشتم بازدید (116)
حل تمرین های فصل هشتم کتاب کار ریاضی پای...
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ها و سری های عددی آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ها و سری های عددی بازدید (630)
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ه...
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- انتگرالگیری ناسره آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- انتگرالگیری ناسره بازدید (646)
سوالات حل شده برای آمادگی امتحان ریاضی ع...
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل هفتم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل هفتم بازدید (1201)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...

فایل های تصادفی

پاسخ تشریحی آزمون شماره 1 ریاضی دهم ریاضی و تجربی خرداد ماه پاسخ تشریحی آزمون شماره 1 ریاضی دهم ریاض... بازدید (3430)
پاسخ تشریحی آزمون شماره 1 ریاضی دهم ریاض...
Construction of solitary solution and compacton-like solution... Construction of solitary solution and co... بازدید (10567)
نام کامل مقاله: Construction of solitary...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری... بازدید (19939)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
پاسخنامه تشریحی ریاضی عمومی ریاضی 1 مدیریت، آمار، جهانگردی و ... نیمسال دوم 90 - 89 پیام نور پاسخنامه تشریحی ریاضی عمومی ریاضی 1 مدیر... بازدید (10074)
نام درس : ر یاضیات و کاربرد آن در مدیریت...
پاسخنامه تشریحی برنامه سازی پیشرفته پیام نور ترم دوم 94-93 همراه با برنامه پاسخنامه تشریحی برنامه سازی پیشرفته پیام... بازدید (9435)
پاسخنامه کاملا تشریحی برنامه سازی پیشرفت...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (29848)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (22670)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (21703)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (19939)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (19610)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا