ویژگی ماتریس‌های متقارن

مقطع تحصیلی: دوره دوم متوسطه
غیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

ویژگی‌ ماتریس‌های متقارن: در این مطلب سعی داریم، ویژگی‌‌هایی را که بر روی ماتریس‌های متقارن صدق می‌کنند، را بیان کنیم.

ویژگی ۱. فرض کنید که \(A\) و \(B\) دو ماتریس مربعی و متقارن باشند. در اینصورت \( A+B \) متقارن خواهد بود.

زیرا با توجه به ویژگی‌هایی که برای ترانهاده یک ماتریس و  ماتریس‌های متقارن \(A\) و \(B\)  گفته شد، داریم:

\( (A+B)^{T} = A^{T} + B^{T} = A + B \)


مثال ۱- فرض کنید که دو ماتریس متقارن \(A\) و \(B\) به صورت زیر بیان شده باشند.

\( A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)

\( B = \begin{bmatrix} i & o \\ 0 & i \end{bmatrix} \)

در اینصورت \( A + B \) متقارن نخواهد شد. زیرا با توجه به ویژگی ۱، برای اینکه مجموع دو ماتریس متقارن باشد، باید هر دو ماتریس‌ \(A\) و \(B\) متقارن باشند که در این مجموع، \(B\) متقارن نیست.


ویژگی ۲. اگر A ماتریس مربعی و متقارن باشد. در اینصورت \( \lambda A \) نیز برای اسکالر \( \lambda \) متقارن خواهد شد.


تمرین ۱. فرض کنید که \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 5 \\ 3 & 5 & 1 \end{bmatrix} \) و \( \lambda = i \) باشد. در اینصورت آیا  \( \lambda A \) متقارن است؟


ویژگی ۳. فرض کنید که \(A\) و \(B\) دو ماتریس متقارن باشند. در اینصورت \( AB \) در حالت کلی متقارن نخواهد بود. برای اینکه دو ماتریس‌ \( AB \) متقارن باشند، حتما باید این دو ماتریس‌ تعویض پذیر باشند. با توجه به ویژگی‌های ترانهاده یک ماتریس‌ داریم:

\( (AB)^{T} = B^{T} A^{T} \)

حال چون \(A\) و \(B\) متقارن هستند، لذا \( A^{T} = A \) ،\( B^{T} = B \) و اینکه \( AB = BA \) است. پس داریم:

\( B^{T} A^{T} = BA = AB \)


مثال ۲. فرض کنید دو ماتریس‌ \(A\) و \(B\) به صورت زیر بیان شده باشند. نشان دهید که \( AB \) لزوما متقارن نیست.

فرض کنید که دو ماتریس‌ A و B را به صورت زیر تعریف کرده باشیم:

\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \)

\( B = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \)

در اینصورت داریم:

⇒ \( AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 15 & 6 \end{bmatrix} \)

⇒ \( BA = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 15 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \)

پس در نتیجه \( AB \neq BA \) می‌باشد.


ویژگی ۴. فرض کنید که A یک ماتریس متقارن باشد. در اینصورت هر توانی از ماتریس‌ A هم متقارن خواهد شد. یعنی داریم:

\( \forall n \in N (A^{n})^{T} = (A^{T})^{n} = A^{n} \)


ویژگی ۵. فرض کنید که \(A\) یک ماتریس متقارن باشد، هرگاه \( f(x) \) یک تابع چندجمله‌ای به شکل زیر باشد:

\( f(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_0 \)

در اینصورت \( f(A) \) هم یک ماتریس متقارن خواهد بود.


مثال ۳. فرض کنید که \( A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} \) یک ماتریس متقارن باشد. همچنین تابع \( f(x) = x^2 + x \) را در نظر بگیرید. نشان دهید که \( f(A) \) هم متقارن است.

\( f(A) = A^2+A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 26 & 5 \\ 5 & 25 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 & 10 \\ 10 & 25 \end{bmatrix} \)

با توجه به تعریف ماتریس‌های متقارن می‌بینیم که ماتریس‌ حاصل شده نسبت به قطر اصلی متقارن می‌باشند.


تمرین ۲. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی باشد. آیا ماتریس \( AA^{T} \) متقارن است؟


تمرین ۳. فرض کنید که A و B ماتریس‌های مربعی باشند. آیا ماتریس \( AB^{T} - BA^{T} \) متقارن است؟


تمرین ۴. فرض کنید که A و B ماتریس‌های مربعی باشند. آیا ماتریس \( AB^{T} + B^{T}A \) متقارن است؟


تمرین ۵. فرض کنید که \( A = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 7 \\ 5 & 0 & i \\ 7 & i & i \end{bmatrix} \) باشد. نشان دهید که \( f(A) \) با تابع چندجمله‌ای  به‌ صورت زیر یک ماتریس متقارن است.

\( f(x) = x^3 + ix \)

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

راهنما و تشریح المسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و کاربردهای آن، جورج اف سیمونز، لطفی، مهدیانی راهنما و تشریح المسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و کاربردهای آن، جورج اف سیمونز، لطفی، مهدیانی بازدید (161)
کتاب راهنما و حل المسائل معادلات دیفرانس...
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل نهم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (1411)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 بازدید (1318)
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، ...
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 بازدید (1433)
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل  نهم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (1418)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب...

فایل های تصادفی

حل المسائل معادلات دیفرانسیل کرایه چیان حل المسائل معادلات دیفرانسیل کرایه چیان... بازدید (10833)
حل المسائل معادلات دیفرانسیل کرایه چیان...
آنالیز مختلط و کاربردهای آن، سیلور من، عمیدی آنالیز مختلط و کاربردهای آن، سیلور من، ع... بازدید (11740)
کتاب آنالیز مختلط و کاربردهای آن نوشته ر...
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی یک - حد و پیوستگی آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی یک - حد و... بازدید (2542)
این مجموعه شامل ۵۶ سوال حل شده از بخش حد...
جزوه توپولوژی دانشگاه صنعتی شریف دکتر فنایی بهار 1397 جزوه توپولوژی دانشگاه صنعتی شریف دکتر فن... بازدید (2512)
جزوه توپولوژی دانشگاه صنعتی شریف دکتر فن...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز کل کتاب ۹ فصل حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب... بازدید (2711)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی کل...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (33515)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (24969)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (24065)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (22289)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (21932)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا