وابستگی خطی بردارها
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
وابستگی خطی بردارها: فرض کنید که مجموعه \( A = \{ \overrightarrow{v_1} , ... , \overrightarrow{v_{k}} \}\) یک زیرمجموعه از فضای برداری \(V\) بر روی میدان \(F\) باشد. بردارهای \( \overrightarrow{v_{k}} , ... , \overrightarrow{v_1}\ \) را وابسته خطی گویند، هرگاه اسکالرهای \( a_{k} , ... , a_1\) به گونه‌ای که همگی آنها صفر نباشد، یافت شود و داشته باشیم:
\( a_1v_1 + ... + a_{k}v_{k} =0\)
در واقع مفهوم بالا بیان می‌کند که بردار صفر را می‌توان به صورت یک ترکیب خطی از بردارهایی نوشت که همگی اسکالرهای آن صفر نیستند. وقتی یکی از اسکالرها مثلا \(a_{i}\) که \( 1 \leq i \leq k \) باشد مخالف صفر باشد، در اینصورت داریم:
\(v_i =- \frac{a_1}{a_i}v_1 - ... - \frac{a_{i-1}}{a_i}v_{i-1} - \frac{a+i}{a_i}v_{i+1}- ... - \frac{a_k}{a_i}v_k \)
به زبان ساده تر، وقتی یک مجموعه از بردارها وابسته خطی هستند، یعنی یکی از بردارها را می‌توانیم به صورت ترکیب خطی سایر بردارها بنویسیم.
وابستگی خطی و استقلال خطی مختص بردارها نیست و در اکثر موضوعات ریاضی وجود دارد. مثلا در مبحث معادلات دیفرانسیل، توابع مستقل خطی و وابسته خطی را داشتیم.
مثال ۱. آیا مجموعه برداری \( A = \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \} \) وابسته خطی است؟
برای اینکه مجموعه \(A\) وابسته خطی باشد، کافی است بتوانید بردار صفر را به صورت ترکیب خطی از بردارهای مجموعه \(A\) بنویسید، به گونه ای که تمام اسکالرهای استفاده شده در این ترکیب خطی صفر نباشند. لذا فرض کنید \( \alpha _{1} , \alpha_{2} , \alpha_{3}, \alpha_{4} \) اسکالرهایی از میدان باشند، لذا داریم:
\( \alpha_{1} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \alpha_{2} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} + \alpha_{3} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} + \alpha_{4} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \) (*)
در نتيجه دو معادله خطی زير را به دست خواهيم آورد:
⇒ \( \alpha_1 + 3\alpha_2 + 4 \alpha_3 + 2 \alpha_4 = 0 \)
⇒ \( 2 \alpha_1 + 5 \alpha_2 + \alpha_3 + 3 \alpha_4 =0 \)
حال با توجه به عبارت‌های به دست آمده دستگاه دو معادله و جهار مجهول زیر را داریم:
\(\begin{cases}\alpha_1 + 3 \alpha_2 + 4 \alpha_3 + 2\alpha_4 = 0\\ 2\alpha_1 + 5 \alpha_2 + \alpha_3 + 3\alpha_4 = 0\end{cases}\)
چون تعداد مجهولات بیشتر از تعداد معادلات می‌باشد، دستگاه دارای بیشمار جواب خواهد داشت. لذا بردارهای مجموعه \(A\) وابسته خطی خواهند بود. برای نشان دادن وابستگی خطی بودن مجموعه \(A\) کافی است، ضرایب مخالف صفری را برای ترکیب خطی (*) بیابیم. برای این منظور این گونه زیر عمل می‌کنیم که دو مجهول را به دلخواه عدد می دهیم و دو مجهول دیگر را محاسبه می کنیم:
مثلاً جوابی را برای این دستگاه، برای حالتی که \( \alpha_3 = \alpha_4 = 1 \) است به دست می‌آوریم. لذا داریم:
\( \begin{cases}\alpha_1 + 3 \alpha_2 = -6 \\ 2\alpha_1 + 5 \alpha_2 = -4\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}-2\alpha_1 - 6 \alpha_2 = 12 \\ 2\alpha_1 + 5 \alpha_2 = -4\end{cases} \Rightarrow - \alpha_2 = 8 \Rightarrow \alpha_2 = -8 , \alpha_1 = 18 \)
لذا یک جواب دستگاه برای حالت \(( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 = (18,-8,1,1)) \) می‌باشد، که نشان می‌دهد لزوماً تمامی ضرایب ترکیب خطی مورد نظر صفر نمی‌باشند، در نتیجه وابسته خطی است.
تمرین ۱. آیا بردارهای \( A = \{ (3,5,7) , (1,0,1) , (0,0,1) \} \) وابسته خطی هستند.
تمرین ۲. آیا بردارهای \( A = \{ (1,0,1) , (2,2,5) , (3,1,7) , (0,0,1) \} \) وابسته خطی هستند.
