چگونه سری مک‌لورن تابع e^x را محاسبه کنیم؟

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

چگونه سری مک‌لورن تابع \( e^x \) را محاسبه کنیم؟

محاسبه سری مک‌لورن تابع \( e^x \) به سادگی از طریق تعریف انجام می‌شود. ببینید:


روش محاسبه سری مک‌لورن تابع \( e^x \) :

مانند مثال‌های قبل برای محاسبه سری مک‌لورن تابع نمایی \( f(x) = e^x \) ،ابتدا مقدار تابع را در نقطه \( x=0 \) به دست می‌آوریم. سپس مشتق تابع را گرفته و مقدار مشتق را در نقطه \( x=0 \) محاسبه می‌کنیم. پس از آن به ترتیب مشتق مرتبه دوم و سوم و ... را در نقطه \( x=0 \) محاسبه می کنیم. سپس مقادیر به دست آمده را در فرمول سری مک‌لورن جایگذاری کرده و بسط سری مک‌لورن تابع \( f(x) = e^x \) به دست خواهد آمد.

\( f(x) = e^x \Longrightarrow f (0) = e^0 = 1 \)

\( f(x) = e^x \Longrightarrow f^{\prime} (x) = e^x  \Longrightarrow f^{\prime} (0) = e^0 = 1 \)

\( f^{\prime}(x) = e^x \Longrightarrow f^{\prime\prime} (x) = e^x  \Longrightarrow f^{\prime\prime} (0) = e^0 = 1 \)

\( f^{\prime\prime}(x) = e^x \Longrightarrow f^{(3)} (x) =  e^x \Longrightarrow f^{(3)} (0) =  e^0 = 1 \)

\( f^{(3)}(x) = e^x \Longrightarrow f^{(4)} (x) =  e^x \Longrightarrow f^{(4)} (0) =  e^0 = 1 \)

و به همین ترتیب، چون مشتق تابع نمایی با خودش برابر است، لذا مشتق مراتب بالاتر در نقطه \( x = 0 \)  همگی برابر با \( 1 \) خواهد شد:

\(  f^{(5)} (0) = 1  , f^{(6)} (0) = 1  , f^{(7)} (0) = 1  , f^{(8)} (0) = 1  , f^{(9)} (0) = 1  , \cdots  \)

بنابراین سری مک‌لورن تابع \( e^x \) با جایگذاری مقادیر فوق در فرمول، به صورت زیر خواهد بود:

\( \begin{align*}  \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} (0) \frac{x^{n}}{n!} &= f(0) + f^{\prime} (0) x + f^{\prime\prime} (0) \frac{x^{2}}{2!}  + f^{(3)} (0) \frac{x^{3}}{3!} + \cdots \\  &= 1 +  1 \times x + 1 \times \frac{x^{2}}{2!}  + 1 \times \frac{x^{3}}{3!} + 1 \times \frac{x^{4}}{4!} + 1 \times \frac{x^{5}}{5!} \\ & \qquad +1 \times \frac{x^{6}}{6!} + 1 \times \frac{x^{7}}{7!} + 1 \times \frac{x^{8}}{8!} + 1 \times \frac{x^{9}}{9!} + \cdots  \\ & = 1 +x + \frac{x^{2}}{2!} +  \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} +\frac{x^{5}}{5!} +\cdots  \end{align*} \)

بنابراین چندجمله‌ای سری مک‌لورن تابع \( f(x) = e^x \) به صورت زیر می‌باشد:

\( \boxed{ e^x = 1 +x + \frac{x^{2}}{2!} +  \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} +\frac{x^{5}}{5!} +\cdots } \)

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

کتاب حد و پیوستگی استاد برزور کتاب حد و پیوستگی استاد برزور بازدید (63)
کتاب حد و پیوستگی استاد محمد برزور...
جزوه هوش مصنوعی استاد شریفی زاده ترم دوم 96-1395 جزوه هوش مصنوعی استاد شریفی زاده ترم دوم 96-1395 بازدید (73)
جزوه هوش مصنوعی استاد شریفی زاده ترم دوم...
جزوه مبانی آنالیز ریاضی فصل دنباله و سری ها استاد برزور جزوه مبانی آنالیز ریاضی فصل دنباله و سری ها استاد برزور بازدید (379)
جزوه مبانی آنالیز ریاضی فصل دنباله و سری...
پاسخ تشریحی پایان ترم ریاضی عمومی یک دانشگاه صنعتی شریف خرداد 1401 پاسخ تشریحی پایان ترم ریاضی عمومی یک دانشگاه صنعتی شریف خرداد 1401 بازدید (565)
پاسخ تشریحی پایان ترم ریاضی عمومی یک دان...
پاسخ تشریحی پایان ترم ریاضی عمومی یک دانشگاه صنعتی شریف خرداد ماه ۱۴۰۰ پاسخ تشریحی پایان ترم ریاضی عمومی یک دانشگاه صنعتی شریف خرداد ماه ۱۴۰۰ بازدید (319)
پاسخ تشریحی پایان ترم ریاضی عمومی یک دان...

فایل های تصادفی

جزوه آنالیز عددی پیشرفته دانشگاه صنعتی شریف استاد مهدوی امیری پاییز 95 جزوه آنالیز عددی پیشرفته دانشگاه صنعتی ش... بازدید (8808)
جزوه آنالیز عددی پیشرفته دانشگاه صنعتی ش...
کلید آزمون ریاضی 2، ریاضی عمومی2، ریاضی کاربردی1، رشته شیمی، مهندسی کامپیوتر و ... پیام نور نیم سال اول 92-1391 کلید آزمون ریاضی 2، ریاضی عمومی2، ریاضی ... بازدید (17316)
کلید آزمون ریاضی 2، ریاضی عمومی2، ریاض...
کلید آزمون ریاضی 2، ریاضی عمومی2، ریاضی کاربردی1، رشته شیمی، مهندسی کامپیوتر و ... پیام نور نیم سال دوم 92-1391 کلید آزمون ریاضی 2، ریاضی عمومی2، ریاضی ... بازدید (17912)
نام درس : ریاضی 2، ریاضی عمومی 2، ریاضی ...
جزوه محاسبات عددی، شریف، سال 88-87، جزوه محاسبات عددی، شریف، سال 88-87،... بازدید (19702)
جزوه دست نویس محاسبات عددی ، دانشگاه صنع...
A comparison between the variational iteration method and Adomian decomposition method A comparison between the variational ite... بازدید (22016)
Abdol-Majid Wazwaz A comparison between...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (75061)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (39393)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (36953)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (34031)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (33368)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
14449837

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا