چگونه سری مک‌لورن تابع e^x را محاسبه کنیم؟

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

چگونه سری مک‌لورن تابع \( e^x \) را محاسبه کنیم؟

محاسبه سری مک‌لورن تابع \( e^x \) به سادگی از طریق تعریف انجام می‌شود. ببینید:


روش محاسبه سری مک‌لورن تابع \( e^x \) :

مانند مثال‌های قبل برای محاسبه سری مک‌لورن تابع نمایی \( f(x) = e^x \) ،ابتدا مقدار تابع را در نقطه \( x=0 \) به دست می‌آوریم. سپس مشتق تابع را گرفته و مقدار مشتق را در نقطه \( x=0 \) محاسبه می‌کنیم. پس از آن به ترتیب مشتق مرتبه دوم و سوم و ... را در نقطه \( x=0 \) محاسبه می کنیم. سپس مقادیر به دست آمده را در فرمول سری مک‌لورن جایگذاری کرده و بسط سری مک‌لورن تابع \( f(x) = e^x \) به دست خواهد آمد.

\( f(x) = e^x \Longrightarrow f (0) = e^0 = 1 \)

\( f(x) = e^x \Longrightarrow f^{\prime} (x) = e^x  \Longrightarrow f^{\prime} (0) = e^0 = 1 \)

\( f^{\prime}(x) = e^x \Longrightarrow f^{\prime\prime} (x) = e^x  \Longrightarrow f^{\prime\prime} (0) = e^0 = 1 \)

\( f^{\prime\prime}(x) = e^x \Longrightarrow f^{(3)} (x) =  e^x \Longrightarrow f^{(3)} (0) =  e^0 = 1 \)

\( f^{(3)}(x) = e^x \Longrightarrow f^{(4)} (x) =  e^x \Longrightarrow f^{(4)} (0) =  e^0 = 1 \)

و به همین ترتیب، چون مشتق تابع نمایی با خودش برابر است، لذا مشتق مراتب بالاتر در نقطه \( x = 0 \)  همگی برابر با \( 1 \) خواهد شد:

\(  f^{(5)} (0) = 1  , f^{(6)} (0) = 1  , f^{(7)} (0) = 1  , f^{(8)} (0) = 1  , f^{(9)} (0) = 1  , \cdots  \)

بنابراین سری مک‌لورن تابع \( e^x \) با جایگذاری مقادیر فوق در فرمول، به صورت زیر خواهد بود:

\( \begin{align*}  \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} (0) \frac{x^{n}}{n!} &= f(0) + f^{\prime} (0) x + f^{\prime\prime} (0) \frac{x^{2}}{2!}  + f^{(3)} (0) \frac{x^{3}}{3!} + \cdots \\  &= 1 +  1 \times x + 1 \times \frac{x^{2}}{2!}  + 1 \times \frac{x^{3}}{3!} + 1 \times \frac{x^{4}}{4!} + 1 \times \frac{x^{5}}{5!} \\ & \qquad +1 \times \frac{x^{6}}{6!} + 1 \times \frac{x^{7}}{7!} + 1 \times \frac{x^{8}}{8!} + 1 \times \frac{x^{9}}{9!} + \cdots  \\ & = 1 +x + \frac{x^{2}}{2!} +  \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} +\frac{x^{5}}{5!} +\cdots  \end{align*} \)

بنابراین چندجمله‌ای سری مک‌لورن تابع \( f(x) = e^x \) به صورت زیر می‌باشد:

\( \boxed{ e^x = 1 +x + \frac{x^{2}}{2!} +  \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} +\frac{x^{5}}{5!} +\cdots } \)

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

جزوه مبانی آنالیز ریاضی فصل دنباله و سری ها استاد برزور جزوه مبانی آنالیز ریاضی فصل دنباله و سری ها استاد برزور بازدید (255)
جزوه مبانی آنالیز ریاضی فصل دنباله و سری...
پاسخ تشریحی پایان ترم ریاضی عمومی یک دانشگاه صنعتی شریف خرداد 1401 پاسخ تشریحی پایان ترم ریاضی عمومی یک دانشگاه صنعتی شریف خرداد 1401 بازدید (379)
پاسخ تشریحی پایان ترم ریاضی عمومی یک دان...
پاسخ تشریحی پایان ترم ریاضی عمومی یک دانشگاه صنعتی شریف خرداد ماه ۱۴۰۰ پاسخ تشریحی پایان ترم ریاضی عمومی یک دانشگاه صنعتی شریف خرداد ماه ۱۴۰۰ بازدید (232)
پاسخ تشریحی پایان ترم ریاضی عمومی یک دان...
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی ۱ دانشگاه صنعتی شریف دی 1398 پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی ۱ دانشگاه صنعتی شریف دی 1398 بازدید (163)
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک دانش...
حل تمرین کتاب ریاضی عمومی یک دکتر کرایه چیان: فصل چهارم کاربردهای مشتق حل تمرین کتاب ریاضی عمومی یک دکتر کرایه چیان: فصل چهارم کاربردهای مشتق بازدید (370)
حل کلیه تمرینهای فصل چهارم کاربردهای مشت...

فایل های تصادفی

جزوه آنالیز مختلط دکتر صال مصلحیان فردوسی مشهد 95 جزوه آنالیز مختلط دکتر صال مصلحیان فردوس... بازدید (17051)
جزوه آنالیز مختلط دکتر صال مصلحیان فردوس...
جزوه توپولوژی دانشگاه صنعتی شریف دکتر فنایی بهار 1397 جزوه توپولوژی دانشگاه صنعتی شریف دکتر فن... بازدید (8366)
جزوه توپولوژی دانشگاه صنعتی شریف دکتر فن...
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعتی شریف 13911030 پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعت... بازدید (12939)
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعت...
مقدمه و فهرست مطالب برنامه ریزی خطی بازارا ترجمه دکتر خرم مقدمه و فهرست مطالب برنامه ریزی خطی بازا... بازدید (18081)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب برنامه ریزی خطی...
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی مهندسی 13891028 دکتر فتوحی دانشگاه صنعتی شریف پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی مهندسی 138910... بازدید (14232)
پاسخ تشریحی نمونه سوال پایانترم ریاضی مه...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (74293)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (39314)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (36882)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (33599)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (33289)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
14368594

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا