29.1. اعداد گنگ و اعداد گویا

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

به نام خدا

الهم صل علی محمد و آل محمد


اينکه مي گوييم عددي گنگ است يعني چه ؟ آيا به اين معني است که قادر به صحبت نيست ؟ !!! مسلما ً اين گونه نيست. در رياضيات به اعدادي که گويا نباشند، اعداد گنگ ( اصم ) مي گويند.

اعداد گويا چه نوع اعدادي هستند؟ آيا اين اعداد نيز اعداد « سخن گو » هستند؟ خير ؛ به عددي که بتوان آن را با يک کسر معمولي بيان کنيم ، يک « عدد گويا » مي گوييم.

عددي گنگ است زيرا هيچ کسري به صورت وجود ندارد که برابر با باشد. اگر را محاسبه کنيم خواهيم داشت :

( در پايان اين قسمت اثبات خواهيم کرد که عددي گنگ است. )

دقت کنيد که در ارقام ِ هيچ الگويي وجود ندارد و هيچ گروهي از ارقامش تکرار نمي شوند.

بنابراين اين سوال پيش مي آيد که آيا همه ي اعداد گويا ، در نمايش اعشاري ، يک گروه از ارقامشان دوره اي هستند و تکرار مي شوند؟

براي مشخص شدن مطلب ، اجازه دهيد چند کسر را ارزيابي کنيم :

که اين عدد را مي توان به صورت نوشت. که داراي يک گروه شش رقمي تکراري است يا به عبارتي دوره ي گردش ِ ، شش رقمي است و آن ارقامي که بالاي آن ها خط کشيده ايم از ابتداي خط تا انتهاي آن به ترتيب تکرار مي شوند.

اما مقدار کسر ِ را ببينيد :

چنانچه ملاحظه نموديد ما اين کسر را تا بيش از 100 رقم اعشار محاسبه نموديم اما هيچ دوره ي گردشي مشاهده نمي کنيم. آيا مي توانيم نتيجه بگيريم که عددي گنگ است ؟ اگر چنين باشد که تعريف قبلي ما براي اعداد گنگ باطل مي شود !!!...

آيا اگر مقدار را کمي بيشتر محاسبه کنيم، اتفاق خاصي نخواهد افتاد؟ ببينيم اگر 10 رقم اعشار جلوتر رويم چه مي شود :

به نظر مي رسد يک الگوي تکراري شروع شود و آغاز آن 0091 باشد. محاسبات را بيشتر مي کنيم( بيش از 200 رقم ) ، آيا حدس ما درست خواهد بود ؟ ببينيد :

اگر محاسبات را تا 332 رقم اعشار ادامه دهيم ، الگو واضح خواهد شد :

پس مي توانيم اين محاسبات را متوقف کنيم و نتيجه بگيريم ( البته بدون اثبات) که « نمايش يک کسر معمولي به صورت عدد اعشاري ، همواره يک دوره ارقام چرخشي دارد. » البته بعضي از اين کسر ها در اين نمايش، دوره ي چرخش کوتاهي دارند : مثلا ً دوره ي چرخش يک رقمييا يک دوره ي چرخشي 6 رقمي دارد و بعضي ها مانند که دوره ي 108 رقمي دارد، دوره ي طولاني تري دارند.

اين ، گواهي بر آن است که يک کسر داراي نمايش ِ اعشاري متناوب است ولي اعداد گنگ چنين نيستند.

اکنون ثابت مي کنيم که را نمي توان به صورت يک کسر نوشت که آن نتيجه خواهد داد عددي گنگ است.

... « فرض کنيم کسري با کوچکترين جملات است که در آن a و b هيچ مقسوم عليه مشترکي ندارند. فرض کنيم . دو طرف تساوي را به توان 2 مي رسانيم : بنابراين . يعني عددي زوج است . چونتوان دوم هر عدد فرد، عددي فرد است پس چون زوج است ، a نمي تواند عددي فرد باشد ؛ پس a زوج است و مي توان فرض کرد a = 2k . بنابراين که نشان مي دهد . پس زوج است و b نيز زوج خواهد شد. پس در کل از اينکه باشد ، به اين نتيجه رسيديم که a و b بايستي اعداد زوجي باشند که در اين صورت a و b داراي حداقل يک مقسوم عليه مشترک ( يعني 2 ) هستند که اين نتيجه با فرض اوليه ي ما ( a و b هيچ مقسوم عليه مشترکي ندارند ) در تناقض است. بنابراين فرض اينکه را بتوان به صورت يک کسر نوشت باطل است يعني عددي گنگ است . » ... .

شايد اين اثبات براي شما اصرار آميز و گيج کننده باشد اما با کمي دقت و پيگيري ِ گام به گام ِ آن ، به زيبايي اين اثبات پي خواهيد برد.

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل نهم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (632)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 بازدید (508)
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، ...
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 بازدید (582)
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل  نهم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (585)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل  هشتم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز فصل هشتم بازدید (630)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب...

فایل های تصادفی

مقدمه و فهرست مطالب برنامه ریزی خطی بازارا ترجمه دکتر خرم مقدمه و فهرست مطالب برنامه ریزی خطی بازا... بازدید (10276)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب برنامه ریزی خطی...
طراحی مدارهای عملی الکترونیک طراحی مدارهای عملی الکترونیک... بازدید (8579)
طراحی عملی مدارهای الکترونیک، مولف جروم ...
پاسخنامه تشریحی برنامه سازی پیشرفته پیام نور ترم دوم 93-92 همراه با برنامه پاسخنامه تشریحی برنامه سازی پیشرفته پیام... بازدید (10326)
پاسخنامه کاملا تشریحی برنامه سازی پیشرفت...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل سوم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب... بازدید (1858)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب...
کتاب بازگشت به منزل آخر دکتر میرزاوزیری کتاب بازگشت به منزل آخر دکتر میرزاوزیری... بازدید (2053)
کتاب بازگشت به منزل آخر دکتر میرزاوزیری...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (31741)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (23747)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (22829)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (21035)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (20751)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا