30.1. مجموع اعداد متوالی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

آيا مي دانيد چه اعدادي را مي توانيم به صورت مجموع اعداد ِ طبيعي متوالي بنويسيم ؟

اگر نمي دانيد اين مطلب را پي گيريد تا ببينيد چه اعدادي را مي توانيم به صورت مجموع اعداد طبيعي متوالي بنويسيم.

از عدد 2 تا 40 شروع مي کنيم و سعي خواهيم کرد براي هر کدام ، ليستي از اعداد ِ متوالي بيابيم که مجموع آن ها با عدد انتخاب شده برابر باشد.

نکته 1 : نمايش اعداد به صورت مجموع ِ اعدادِ متوالي ، يکتا نيست ؛ مثلا" 30 را به صورت هاي زير مي توان نمايش داد:

9+8+7+6=11+10+9=30

نکته 2 : يک بازرسي در اعداد بالا نشان مي دهد : اعدادي را که به صورت تواني از 2 هستند، نمي توانيم به صورت مجموع اعداد متوالي بنويسيم . ( در پايان اين قسمت ، اين مطلب را اثبات مي کنيم. )

نکته ي 2 حقيقت ِ جالبي است که توقع نمي رفت چنين باشد. همچنين با ساختن يک چنين ليستي از اعداد به صورت مجموع ِ اعداد ِ متوالي ، الگوهايي را مشاهده خواهيم کرد. يکي از اين الگوهاي واضح در مورد اعداد مثلثي است. n - مين عدد مثلثي ، مجموع n عدد ِ طبيعي نخست متوالي است. مثلا ً

يا اين که n - مين مضرب از عدد 3 را که 3n مي ناميم، همواره مي توانيم به صورت مجموع ِِ n -مين عدد طبيعي و اعداد قبل و بعدش نمايش دهيم. يعني

با کمي دقت شما نيز مي توانيد چنين الگو هايي را کشف کنيد؛ زيرا که ديدن الگوهاي اعداد و روابط بين آن ها يکي از جالب ترين بخش هاست.

اکنون ثابت مي کنيم يک عدد را کِي مي توانيم به صورت مجموع ِحداقلِ ِ دو عدد طبيعي و متوالي بنويسيم:

اگر a وb دو عدد طبيعي باشند که b ازa بزرگتر است ، مجموع عددهاي طبيعي متوالي بينa و b چه مقاديري مي توانند باشند؟

با استفاده از فرمولِِِِ مجموع ِ يک سري عددي مي توان اين مقدار را به دست آورد ؛ که اين مقدار برابر است با نصف حاصلضرب مجموع کران بالا و کران پايين در تعداد جملات.

بنابر ايناگر مجموع اعداد طبيعي متوالي بين a وb راS بناميم ، از فرمول زير به دست مي آيد :

که در اين حالت ، a جمله ي پاييني و b جمله ي بالايي و تعداد جملات بين a و bاست. ( ممکن است اين سوء تفاهم پيش آيد که با استفاده از قوانين جمع ، مي توانيم پرانتزهاي بين اعداد در فرمول بالا را حذف کنيم. با حذف اين پرانتزها اعداد -1 و +1 و ... با هم ساده مي شوند و تنها تعدادي a و تعدادي b باقي مي ماند. براي جلوگيري از اين گونه موارد بيان مي کنيم که منظور از ، عدد طبيعي ِ بعد از a است و منظور از نيز عدد طبيعي قبل از b است و ... . ممکن است در مکاني مثلا ً و با هم برابر شوند ( m وn عدد طبيعي هستند )، که در اين حالت نيز تنها يکي از آن ها را وارد مي کنيم.پس در حالت کلي منظور از مجموع بالا ، مجموع اعداد طبيعي بينa وb با احتساب خودa وb است و اين اعداد بدون تکرار در نظر گرفته مي شوند. ) .

پس

دو طرف تساوي را دو برابر مي کنيم :

را x مي ناميم و را y . چون a و b اعداد طبيعي هستند و ، x و y نيز اعداد طبيعي اند. از آنجا که عددي فرد است ، بنابراين يکي از x وyفرد است و ديگري زوج . ( دقت داريم که فقط مجموع ِ يک عدد فرد و يک عدد زوج ، عددي فرد است. )

اکنون تساوي 2S = xy و وضعيت هاي x و y ، دو حالت زير را پيش روي ما قرار مي دهد :

حالت اول :S تواني از 2 است :

فرض مي کنيم . بنا بر اين يا . تنها حالتي ، که يک توان از 2 را مي توانيم به صورت حاصلضرب يک عدد فرد در يک عدد زوج بنويسيم ، حالتي است که عدد فرد ، عدد 1 باشد. اگر x=1 باشد ، يعني :

، در اين صورت a , b نمي توانند اعداد طبيعي باشند ، زيرا مجموع هيچ دو عدد طبيعي ، برابر با 1 نيست.

و اگر y برابر با 1 باشد ، يعني :

، پس بايد يا به عبارتي a و b با هم برابر باشند که اين نيز اتفاق نمي افتد.

بنابراين در اين حالت نمي توانيمS را به صورت مجموع ِ اعداد ِ متوالي بنويسيم.

حالت دوم :S تواني از 2 نيست :

فرض مي کنيم که m عدد فردي بزرگتر از 1 است. در اين صورت .

در اين حالت مي توانيم اعداد طبيعي a و bرا طوري بيابيم که باشد و .

دقت داريم که دو عدد و m برابر نيستند زيرا m فرد است و زوج .بنابراين يکي از آنها بزرگتر از ديگري است. فرض کنيم x آن عدد ِ بزرگتر و y آن عدد ِ کوچکتر باشد. با اين انتخاب جواب ِ a و b مشخص مي شود زيرا از رابطه ي مقدار b مشخص مي شود و از رابطه ي مقدار a مشخص مي شود . همچنين و بنابر اين .

بنابراين ، آن عدد طبيعي را مي توانيم با مجموع ِ اعداد ِ طبيعي متوالي نمايش دهيم که تواني از 2 نباشد.

با اين مطلب به پايان فصل اول در شگفتي ها و زيبايي هاي رياضيات مي رسيم.

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز بازدید (54)
حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم...
جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانشگاه صنعتی شریف پاییز ۹۷ جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانشگاه صنعتی شریف پاییز ۹۷ بازدید (40)
جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانش...
حل تمرین ریاضی عمومی ۲ دکتر کرایه چیان فصل اول حل تمرین ریاضی عمومی ۲ دکتر کرایه چیان فصل اول بازدید (191)
حل المسائل کتاب ریاضی عمومی ۲ دکتر محمدع...
جزوه توپولوژی دانشگاه صنعتی شریف دکتر فنایی بهار 1397 جزوه توپولوژی دانشگاه صنعتی شریف دکتر فنایی بهار 1397 بازدید (258)
جزوه توپولوژی دانشگاه صنعتی شریف دکتر فن...
جزوه بهینه سازی محدب دانشگاه صنعتی شریف دکتر علشاهی بهار 1397 جزوه بهینه سازی محدب دانشگاه صنعتی شریف دکتر علشاهی بهار 1397 بازدید (358)
جزوه بهینه سازی محدب دانشگاه صنعتی شریف ...

فایل های تصادفی

Adomian decomposition method for solving fractional nonlinear differential equations Adomian decomposition method for solving... بازدید (8891)
S.A. El-Wakil, A. Elhanbaly, M.A. Abdou،...
مقدمه و فهرست مطالب فضاهای برداری توپولوژیک مقدمه و فهرست مطالب فضاهای برداری توپولو... بازدید (8355)
مقدمه و فهرست مطالب فضاهای برداری توپولو...
A comparison between the variational iteration method and Adomian decomposition method A comparison between the variational ite... بازدید (11658)
Abdol-Majid Wazwaz A comparison between...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ری... بازدید (13431)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
جزوه درس توپولوژی، صال مصلحیان، فردوسی مشهد، 95-1394 جزوه درس توپولوژی، صال مصلحیان، فردوسی م... بازدید (8990)
جزوه تخصصی درس توپولوژی استاد صال مصلحیا...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (26636)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (20837)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (19871)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (18142)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (17694)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا