ميان ترم مباني رياضيات حامد 13/9/1385 فردوسی مشهد
به نام خدا
اللهم صل علي محمد و آل محمد
نام آزمون: ميان ترم مباني رياضيات
نام استاد: دکتر حامد لبافيان
تاريخ برگزاري: 13/9/1385
دانشگاه: فردوسي مشهد
دانشکده: علوم رياضي
1. مشخص كنيد عبارات زير گزاره، گزاره نما، اسم خاص يا اسم نما هستند.
الف: 
ب: 
پ: 
ت: 
2. عبارات زير را به زبان منطق نوشته و نقيض آنها را به فارسي روان بنويسيد.
الف: گر از دوست چشمت به احسان اوست تو در بند خويشي نه در بند دوست
ب: هركه در او جوهر دانايي است بر همه چيزيش توانايي است
3. اعتبار استنتاج هاي زير را بررسي كنيد.
الف: اگر 5 يك عدد اول باشد، آنگاه 5 ، 15 را مي شمارد.
5، 15 را مي شمارد.
پس 5 يك عدد اول است.
ب:
پ: اگر 7 كمتر از 4 باشد، آنگاه 7 عدد اول نيست.
7 كمتر از 4 نيست.
پس 7 عدد اول است.
4. گزاره ي « دقيقاً يك x وجود دارد كه 
›› را به كمك سورهاي عمومي و وجودي بازنويسي كنيد.
5. اصول زير، اصول موضوعه يك دستگاه رياضي به نام ‹‹بوروكراسي›› است. اين دستگاه متشكل است از يك مجموعه از بوروكرات ها، يك مجموعه از كميت ها، يك رابطه بين اين دو مجموعه، ( بخوانيد: ... در ... خدمت مي كند. ) كه در اصول موضوعه ي زير صدق مي كنند:
اصل اول: هر بوروكرات حداقل در سه كميته ي مختلف خدمت مي كنند.
اصل دوم: در هر كميته حداقل سه بورروكرات متفاوت خدمت مي كنند.
اصل سوم: براي هر دو كميته ي متمايز، دقيقاً يك بوروكرات در هر دو كميته خدمت مي كند.
اصل چهارم: براي هر دو بوروكرات متمايز، دقيقاً يك كميته وجود دارد كه هر دو بوروكرات در آن خدمت مي كنند.
الف: ثابت كنيد كه اگر تعداد بوروكرات ها متناهي باشد، تعداد كميته ها نيز متناهي است.
ب: يك بوروكراسي ناتهي ، حداقل چند بوروكرات دارد.
6. اگر R يك رابطه روي X باشد، كوچكترين رابطه ي متفارن شامل R را بيابيد. (با استدلال)
7. براي هر عدد طبيعي k، فرض كنيد 
. در اين صورت 
را بدست آوريد.
8. پارادوكس راسل را بيان و اثبات كنيد. (مقدمات اثبات لازم است.)
9. يك شرط لازم و كافي براي پوشا بودن تابع 
بيان و اثبات كنيد. همين كار را براي يك به يك بودن 
نيز تكرار نماييد.
10. اگر تابع 
، يك رابطه ي انعكاسي روي X باشد، در مورد f چه مي توان گفت ؟
11. اگر 
و 
دو تناظر يك به يك باشند، نشان دهيد gof نيز تناظر 1 -1 است.
12. اگر يك تابع باشد و 
و 
و 
. ثابت كنيد
الف: 
ب:
با يك مثال براي هر گزاره، نشان دهيد كه ممكن است تساوي اتفاق نيافتد.
شرايط لازم و كافي براي ايجاد تساوي در دو گزاره ي فوق را فقط بيان كنيد.
13. الف: P يك افراز از مجموعه ي ناتهي X است. نشان دهيد 
.
ب: R يك رابطه ي هم ارزي روي مجموعه ي ناتهي X است. نشان دهيد 
.
14. درستي يا نادرستي عبارات زير را مشخص كنيد. درمورد گزاره هاي نادرست، مثال نقض ارائه دهيد.
الف: 
ب: 
پ: 
ت: 
ث: 
ج: 
چ: 
ح: 
خ: 
د: 
