نام آزمون: میانترم ریاضی مهندسی

دانشگاه تهران

دانشکده علوم مهندسی

نیمسال اول ۹۴-۱۳۹۳

تاریخ آزمون ۱۳۹۳/۰۸/۲۹

مدت آزمون ۳ ساعت

سوال ۱:‌ الف) تابع \( f(x) = x ( \pi - x ) \) را که در بازه \( 0 < x < \pi \) تعریف شده است، گسترش فرد داده و سری فوریه سینوسی آن را بیابید. (۱/۵ نمره)

ب) به کمک قسمت قبل با انتخاب یک \( x \)‌ مناسب، حاصل سری عددی زیر را به دست آورید. (۱ نمره)

\( A = \left( \frac{1}{1^{3}} - \frac{1}{5^{3}} \right) + \left( \frac{1}{7^{3}} - \frac{1}{11^{3}} \right) + \left( \frac{1}{13^{3}} - \frac{1}{517^{3}} \right) + \dots \)

سوال ۲:‌ الف) انتگرال فوریه تابع \( f(x) \) را به دست آورده، به کمک آن \( I \) را محاسبه کنید. (۱/۵ نمره)

\( f(x) = \begin{cases} \cos x & \left| x \right| < \frac{\pi}{2} \\ 0 & \left| x \right| > \frac{\pi}{2}  \end{cases} ~~ ; ~~ I = \int_{0}^{ \infty } \frac{ \cos x }{ \pi^{2} - 4 x^{2} } dx \)

ب) اگر \( \mathcal{F} (f(x)) = \hat{f} (\alpha) \) باشد، تبدیل فوریه \( x f(x-3) \) را بر حسب \( \hat{f} (\alpha) \) به دست آورید. (۱ نمره)

سوال ۳) تابع \( f(x) = x \) را بر حسب توابع ویژه مسأله اشتورم-لیوویل زیر بسط دهید. (۲ نمره)

\( y^{''} + \lambda y = 0 ~~ ;~~ 0 < x < 1 \)

\( \begin{cases} y(0) = 0 \\ y(1) + 2 y^{'} (1) = 0 \end{cases} \)

سوال ۴) مسأله حرارت زیر را حل کنید. (۳ نمره)

\( u_{t} = u_{xx} - x - \cos t ~~ ; ~~ 0 < x < 3 ~~; ~~ t > 0 \)

\( \begin{cases} u_{x}(0,t) = t ~~ ; ~~ u(3,t) = 3t - \sin t & B.C. \\ u(x,0) = 2 \cos \left( \frac{3 \pi x}{2} \right) + \frac{1}{3} x^{3} - 9 & I.C. \end{cases} \)

با آرزوی موفقیت