نام آزمون: میانترم ریاضی مهندسی

دانشگاه تهران

دانشکده علوم مهندسی

نیمسال اول ۹۰-۱۳۸۹

تاریخ آزمون ۱۳۸۹/۰۹/۲۹

مدت آزمون ۱۱۰ دقیقه

سوال ۱:‌ ابتدا سری فوریه تابع \( f(x) \) را در بازه \( - \pi \le x \le \pi \) به دست آورده ( \( T = 2 \pi \) ) و به کمک آن سری عددی \( A \) را محاسبه کنید. (۲/۵ نمره)

\( f(x) = \left| \sin (x) \right| ~~~~ , ~~~~ A = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{4 n^{2} - 1} \)

سوال ۲:‌ ابتدا تبدیل فوریه تابع \( f(x) \) را به دست آورده و به کمک آن انتگرال \( I \) را محاسبه کنید. (۲/۵ نمره)

\( f(x) = \begin{cases} 1 - x^{2} & \left| x \right| < 1 \\ 0 & \left| x \right| > 1 \end{cases} ~~~ ; ~~~ I = \int_{0}^{ \infty } \frac{ (x \cos x - \sin x )^{2} }{ x^{6}  } dx \)

سوال ۳) پس از تبدیل معادله دیفرانسیل زیر به فرم استاندارد، جواب عمومی آن را به دست آورید. (۲/۵ نمره)

\( x^{2} u_{xx} + 2xyu_{xy} + y^{2} u_{yy} = 0 \)

سوال ۴) معادله دیفرانسیل زیر را با توجه به شرایط مرزی داده شده حل نمایید. (۲/۵ نمره)

\( \frac{ \partial u }{ \partial t}  = 2 \frac{ \partial^{2} u }{ \partial x^{2}}  ~~ ; ~~ -1 < x < 1 ~~; ~~ t > 0 \)

\( u(-1,t) = u(1,t) ~~~,~~~ \left. \frac{ \partial u }{ \partial x} \right|_{x = -1} = \left. \frac{ \partial u }{ \partial x} \right|_{x = 1} ~~~ , ~~~ u(x,0) = \left| x \right|  \)

با آرزوی موفقیت