نام آزمون: میانترم ریاضی مهندسی

دانشگاه تهران

دانشکده علوم مهندسی

نیمسال دوم ۸۹-۱۳۸۸

تاریخ آزمون ۱۳۸۹/۰۳/۲۰

مدت آزمون ۱۱۰ دقیقه

سوال ۱:‌ ابتدا سری فوریه تابع \( f(x) = x \sin x\) را در بازه \( - \pi \le x \le \pi \) به دست آورده ( \( T = 2 \pi \) ) و به کمک آن سری عددی \( A \) را محاسبه کنید. (۳ نمره)

\( A = \frac{1}{1 \times 3} - \frac{1}{3 \times 5}  + \frac{1}{5 \times 7} - \frac{1}{7 \times 9} + \dots \)

سوال ۲:‌ تبدیل معکوس فوریه تابع زیر را محاسبه نمایید.  \( f(x) \) را به دست آورده و به کمک آن انتگرال \( I \) را محاسبه کنید. (۱/۵ نمره)

\( F^{-1} \left\{ \frac{ e^{-2i \alpha} }{ (3 + i \alpha)^{2} }  \right\} \)

سوال ۳) معادله دیفرانسیل مشتق جزئی مرتبه یک زیر را با توجه به شرط مرزی داده شده حل نمایید. (۲ نمره)

\( z \frac{\partial z}{ \partial x} + \frac{\partial z}{ \partial y} = y  ~~ ; ~~ z(x,2) = x \)

سوال ۴) میله باریک به طول ۱ واحد در نظر است. دمای اولیه نیمه سمت چپ میله ۱ واحد و نیمه سمت راست ۰/۵ واحد می‌باشد. محیط اطراف میله عایق بوده و هیچ گرمایی از نقاط ابتدایی و انتهایی آن منتقل نمی‌شود (یعنی گرادیان دما در این نقاط صفر است). در این صورت برای یافتن دما در هر لحظه خاص معادله دیفرانسیل مشتق جزئی زیر را خواهیم داشت. آنرا به کمک روش تفکیک متغیرها، با توجه به شرایط مرزی داده شده حل نمایید. در نهایت دمای حالت پایدار را نیز به دست آورید.  عادله دیفرانسیل زیر را با توجه به شرایط مرزی داده شده حل نمایید. (۳/۵ نمره)

\( \frac{ \partial^{2} u }{ \partial x^{2}} = \frac{ \partial u }{ \partial t}    ~~ ; ~~ 0 < x < 1 ~~; ~~ t > 0 \)

\( \left. \frac{ \partial u }{ \partial x} \right|_{x = 0} =0 ~~ ; ~~ \left. \frac{ \partial u }{ \partial x} \right|_{x = 1} = 0  \)

\( u(x,0) = f(x) = \begin{cases} 1 & 0 < x < 0.5 \\ 1 & 0.5 < x < 1 \end{cases} \)

با آرزوی موفقیت