ارتباط بین جواب‌های معادله‌ی همگن و ناهمگن نظیر

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

به نام خدا

الهم صل علي محمد و آل محمد


در اين قسمت قضايايي را بيان و اثبات مي کنيم که براي به دست آوردن جواب عمومي يک معادله خطي مرتبه دوم نياز مفيدند.

اولين قضيه بيان مي کند که اگر ما به هر طريقي ، يک جواب خصوصي ِ معادله ي ناهمگن لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. را به دست آورده باشيم يا آن را داشته باشيم و جواب عمومي معادله ي همگن ِ نظير را نيز دانيم، مي توانيم جواب عمومي معادله ي ناهمگن لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. را به دست آوريم :

قضيه 1.3: اگر يک جواب خصوصي معادله ي خطي استاندارد ناهمگن مرتبه دوم لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. و جواب عمومي معادله ي همگن نظيرش باشد آنگاه

جواب عمومي معادله خطي استاندارد ناهمگن مرتبه دوم است.

اثبات: با توجه به مفروضات قضيه، يک جواب خصوصي معادله ي لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. در تعريف 3.2 و جواب عمومي معادله ي لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد.در تعريف 3.4 مي باشند. ابتدا نشان مي دهيم معادله ي يک جواب معادله ي لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد.است و سپس نشان مي دهيم که اين جواب، جواب عمومي نيز هست يعني هر جواب ديگر معادله لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. را مي توان از به دست آورد.

براي آنکه نشان دهيم يک جواب لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. است، تابع و مشتقاتش را در معادله لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. قرار مي دهيم. داريم :

اما چون جواب عمومي معادله لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. است پس در آن صدق مي کند يعني

بنابراين از نتيجه مي شود :

اين نيز برقرار است زيرا يک جواب خصوصي براي معادله لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. است. بنابراين در لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. صدق مي کند و يک جواب آن است.

براي آنکه نشان دهيم جواب عمومي معادله لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. است، فرض کنيد جواب ديگري از معادله لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. باشد. اگر را در معادله ي لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. قرار دهيم خواهيم داشت :

اما مقدار هريک از پرانتز هاي سمت چپ برابر با است. ازبرقراري اين تساوي نتيجه مي شود که جوابي از معادله ي لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. است.

اما جواب عمومي معادله لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. بود، بنابراين هر جواب ديگر معادلهلطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. ، از جمله را مي توان به ازاي ثابت هايي مانند از جواب عمومي به دست آورد. بنابراين

يعني نشان داديم که هر جواب ديگر از معادله لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. را مي توانيم از معادله ي به دست آوريم. پس جواب عمومي معادله ي لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. است.

این قضيه نشان مي دهد که اگر دو جواب از معادله همگن را بدانيم، آنگاه هر ترکيب خطي ازآن ها، جواب ديگري براي معادله ي همگن به دست مي دهد، که مي تواند راهنماي ما در به دست آوردن جواب عمومي معادله باشد. در آينده شرايطي را بيان خواهيم کرد که با استفاده از اين قضيه با آن شرايط ، جواب عمومي معادله همگن را به دست آوريم.

قضيه 2.3: اگر و دو جواب براي معادله همگن لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. باشند، آنگاه براي هر مقدار حقيقي ِ ، تابع نيز يک جواب براي معادله همگن لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. است.

اثبات: براي اثبات کافي است نشان دهيم در معادله همگن لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. صدق مي کند :

اما فرض مسأله بيان مي کند که تساوي بالا درست است چرا که هر يک حاصل از پرانتزها برابر با صفر است ، زيرا و جواب هاي معادله ي همگن هستند. بنابراين در لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. صدق مي کند. پس جواب معادله همگن لطفا ً جهت ديدن مطلبي که اين معادله در آن قرار دارد کليک کنيد. است.

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل هفتم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل هفتم بازدید (242)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ بازدید (174)
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنع...
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ بازدید (460)
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریا...
حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز بازدید (756)
حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم...
جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانشگاه صنعتی شریف پاییز ۹۷ جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانشگاه صنعتی شریف پاییز ۹۷ بازدید (500)
جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانش...

فایل های تصادفی

کتاب داو دوم دکتر میرزاوزیری کتاب داو دوم دکتر میرزاوزیری... بازدید (1071)
کتاب داو دوم دکتر میرزاوزیری...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری... بازدید (20583)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
کتاب مبانی علوم ریاضی، پیام نور، بیژن زاده کتاب مبانی علوم ریاضی، پیام نور، بیژن زا... بازدید (10079)
کتاب مبانی علوم ریاضی دانشگاه پیام نور ن...
آنالیز ریاضی 1 پیام نور دکتر مدقالچی، مقدمه و فهرست مطالب آنالیز ریاضی 1 پیام نور دکتر مدقالچی، مق... بازدید (9605)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب آنالیز ریاضی 1 ...
کتاب منطق مجموعه ها اعداد، دکتر میرزاوزیری کتاب منطق مجموعه ها اعداد، دکتر میرزاوزی... بازدید (1063)
کتاب منطق مجموعه ها اعداد، دکتر میرزاوزی...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (27778)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (21580)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (20583)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (18865)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (18438)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا