تابع یک به یک، روش تشخیص، مثال و تمرین

مقطع تحصیلی: عمومی
غیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

تابع یک به یک: فرض کنید f تابعی از مجموعه A به مجموعه B باشد. هرگاه تصویر هر عضو از مجموعه A تنها یک عضو منحصر به فرد در مجموعه B باشد. در اینصورت  تابع f را یک به یک گویند. این تعریف را می‌توان با استفاده از نمادهای ریاضی به گونه زیر بیان نمود:

\(\forall a , b\in A, \:\: if\: \: f(a) =f(b)\rightarrow a=b\)

در واقع عبارت فوق بیان می‌کند، هر زمان تصویر تابع (خروجی تابع) یک به یک f در دو نقطه از دامنه مساوی باشد حتماً آن دو نقطه دارای مقدار یکسان خواهند بود.

همچنین به طور معادل می‌توان عبارت زیر را داشت:

\( \forall a , b\in A, \:\: if\: \: a \neq b \rightarrow f(a) \neq f(b) \)

  عبارت فوق بیان می‌کند که دو نقطه متمایز در دامنه تابع یک به یک f حتماً دارای تصاویر متمایزی در برد تابع f خواهد بود. این موضوع را میتوان به صورت تصویری زیر بیان نمود.

گاهی اوقات یک به یک بودن یک تابع را با نماد 1-1 نشان می‌دهند. در اینجا نیز می‌توان بیان نمود که تصویر معکوس یک تابع یک به یک حتما یک تابع خواهد بود، زیرا به دلیل اینکه f یک تابع می‌باشد، هیچ دو زوج مرتبی از تابع مورد نظر دارای مؤلفه اول یکسان نمی‌باشند و همچنین به علت یک به یک بودن هیچکدام دارای مولفه دوم یکسان نیز نخواهند بود. 


تشخیص یک به یک بودن تابع از روی نمودار: یک به یک بودن تابع را می‌توان از طریق نمودار آن نیز بررسی نمود. در واقع زمانی که به ازای هر خط موازی با محور xها، نمودار تابع f تنها فقط در یک نقطه قطع گردد، در اینصورت تابع f یک به یک خواهد بود. برای مثال شکل‌های زیر را نگاه کنید. در نمودارهای \(f(x)\) و \(g(x)\) زیر، به ازای هر خطی که موازی با محور xها رسم شود (خط صورتی در نمودار f و خط نارنجی رنگ در نمودار g )، نمودار در بیش از یک نقطه قطع می‌شود.

تشخیص تابع از روی نمودار در سایت ریاضیات ایران

  

تشخیص تابع از روی نمودار در سایت ریاضیات ایران

 اما در نمودار \(h(x)\) به ازای هر خطی که موازی با محور xها (خط صورتی رنگ) رسم کنیم، نمودار تابع را حداکثر در یک تقطه قطع خواهد کرد.

تشخیص تابع از روی نمودار در سایت ریاضیات ایران

یادآوری تشخیص تابع بودن نمودار: هر گاه به ازای هر خط موازی با محور yها، نمودار حداکثر در یک نقطه قطع شود، آن نمودار تابع خواهد بود. در نمودارهای بالا f و h تابع  هستند ولی g تابع نمی‌باشد. 

مثال ۱. یک به یک بودن تابع زیر را محاسبه کنید. 

\(f(x) =x+1\)

برای محاسبه یک به یک بودن تابع f با توجه به یکی از تعریف‌های بالا می‌توان اقدام نمود. برای این منظور راه حل زیر را باید طی کنید. 

\(\forall x_1 , x_2 \in D_f,\:\: if\:\: f(x_1) =f(x_2) \rightarrow x_1  = x_2\)

⇒ \(f(x_1) =x_1 +1 =x_2 +1 =f(x_2)\) ⇒ \(x_1 =x_2\)

در نتیجه با بدست آمدن این موضوع که \( x_1 =x_2 \) توانستیم یک به یک بودن تابع f را با توجه به تعریف مورد محاسبه قرار دهیم. 

مثال ۲. در چه بازه‌ای از دامنه، تابع زیر یک به یک و در چه بازه‌ای غیر یک به یک خواهد بود؟

\(g(x) =x^2\)

برای بررسی یک به یک بودن تابع زیر دوباره از روی تعریف اقدام می‌کنیم، لذا داریم:

\(\forall x_1 , x_2 \in D_g,\:\: if\:\: g(x_1) =g(x_2) \rightarrow x_1 = x_2\)

 \(g(x_1) =x_1^2 =x_2^2 =g(x_2) ⇒ x_1 = ± x_2 \) ⇒   

اکنون با توجه به تعریف نتیجه شد، که g تابعی  یک به یک نمی‌باشد، زیرا به ازای \(g(x_1)=g(x_2)\) به جای اینکه \(x_1 = x_2\) باشد، داریم \(x_1 = x_2\). 

برای اینکه تابع g تابعی یک به یک باشد کافی است که بازه دامنه f را به گونه‌ای کوچک کنیم که شامل هر دو عضو \(± x_2\) نباشد. اکنون اگر بازه این دامنه را از \(\mathcal{R}\)  به بازه‌ی \(‎‏‎[0 , ‎+\infty‎)‎\) یا \((-‎\infty ‎, ‎0‎]‎\) تبدیل کنیم چون فقط یکی از دو مقدار \(± x_2\)  در حدود دامنه خواهد بود لذا تابع g یک به یک خواهد بود.

تمرین ۱. بررسی کنید کدامیک از توابع زیر یک به یک و کدامیک غیر یک به یک می‌باشند.

  1. \(f(x) = x^3 +2\)
  2. \(g(x) =\frac{x+1}{x+3}\)
  3. \( h(x)=x^2+x \)

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

راهنما و تشریح المسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و کاربردهای آن، جورج اف سیمونز، لطفی، مهدیانی راهنما و تشریح المسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و کاربردهای آن، جورج اف سیمونز، لطفی، مهدیانی بازدید (254)
کتاب راهنما و حل المسائل معادلات دیفرانس...
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل نهم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (1538)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 بازدید (1459)
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، ...
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 بازدید (1571)
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل  نهم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (1557)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب...

فایل های تصادفی

پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی دو صنعتی شریف مورخ 13970331 پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی دو صنعت... بازدید (4292)
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی دو صنعت...
پاسخنامه آزمون میانترم ریاضی عمومی 1 فنی دانشگاه شاهرود 13950209 پاسخنامه آزمون میانترم ریاضی عمومی 1 فنی... بازدید (10291)
پاسخ سوالات آزمون میانترم ریاضی عمومی 1 ...
کتاب منطق ضامن استدلال دکتر میرزاوزیری کتاب منطق ضامن استدلال دکتر میرزاوزیری... بازدید (2684)
کتاب منطق، ضامن استدلال دکتر میرزاوزیری،...
پاسخ تشریحی ریاضی دهم نوبت اول 13951011 نمونه دولتی شهید علی محمدی منطقه 2 تهران پاسخ تشریحی ریاضی دهم نوبت اول 13951011 ... بازدید (9761)
پاسخ کاملا تشریحی نمونه سوال ریاضی دهم ن...
پاسخ تشریحی المپیاد علمی ریاضی پایه نهم خراسان رضوی 26 بهمن 95 مرحله اول پاسخ تشریحی المپیاد علمی ریاضی پایه نهم ... بازدید (2887)
پاسخ تشریحی المپیاد علمی ریاضی پایه نهم ...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (33724)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (25149)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (24243)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (22466)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (22104)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا