تابع یک به یک، روش تشخیص، مثال و تمرین

مقطع تحصیلی: عمومی
غیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

تابع یک به یک: فرض کنید f تابعی از مجموعه A به مجموعه B باشد. هرگاه تصویر هر عضو از مجموعه A تنها یک عضو منحصر به فرد در مجموعه B باشد. در اینصورت  تابع f را یک به یک گویند. این تعریف را می‌توان با استفاده از نمادهای ریاضی به گونه زیر بیان نمود:

\(\forall a , b\in A, \:\: if\: \: f(a) =f(b)\rightarrow a=b\)

در واقع عبارت فوق بیان می‌کند، هر زمان تصویر تابع (خروجی تابع) یک به یک f در دو نقطه از دامنه مساوی باشد حتماً آن دو نقطه دارای مقدار یکسان خواهند بود.

همچنین به طور معادل می‌توان عبارت زیر را داشت:

\( \forall a , b\in A, \:\: if\: \: a \neq b \rightarrow f(a) \neq f(b) \)

  عبارت فوق بیان می‌کند که دو نقطه متمایز در دامنه تابع یک به یک f حتماً دارای تصاویر متمایزی در برد تابع f خواهد بود. این موضوع را میتوان به صورت تصویری زیر بیان نمود.

گاهی اوقات یک به یک بودن یک تابع را با نماد 1-1 نشان می‌دهند. در اینجا نیز می‌توان بیان نمود که تصویر معکوس یک تابع یک به یک حتما یک تابع خواهد بود، زیرا به دلیل اینکه f یک تابع می‌باشد، هیچ دو زوج مرتبی از تابع مورد نظر دارای مؤلفه اول یکسان نمی‌باشند و همچنین به علت یک به یک بودن هیچکدام دارای مولفه دوم یکسان نیز نخواهند بود. 


تشخیص یک به یک بودن تابع از روی نمودار: یک به یک بودن تابع را می‌توان از طریق نمودار آن نیز بررسی نمود. در واقع زمانی که به ازای هر خط موازی با محور xها، نمودار تابع f تنها فقط در یک نقطه قطع گردد، در اینصورت تابع f یک به یک خواهد بود. برای مثال شکل‌های زیر را نگاه کنید. در نمودارهای \(f(x)\) و \(g(x)\) زیر، به ازای هر خطی که موازی با محور xها رسم شود (خط صورتی در نمودار f و خط نارنجی رنگ در نمودار g )، نمودار در بیش از یک نقطه قطع می‌شود.

تشخیص تابع از روی نمودار در سایت ریاضیات ایران

  

تشخیص تابع از روی نمودار در سایت ریاضیات ایران

 اما در نمودار \(h(x)\) به ازای هر خطی که موازی با محور xها (خط صورتی رنگ) رسم کنیم، نمودار تابع را حداکثر در یک تقطه قطع خواهد کرد.

تشخیص تابع از روی نمودار در سایت ریاضیات ایران

یادآوری تشخیص تابع بودن نمودار: هر گاه به ازای هر خط موازی با محور yها، نمودار حداکثر در یک نقطه قطع شود، آن نمودار تابع خواهد بود. در نمودارهای بالا f و h تابع  هستند ولی g تابع نمی‌باشد. 

مثال ۱. یک به یک بودن تابع زیر را محاسبه کنید. 

\(f(x) =x+1\)

برای محاسبه یک به یک بودن تابع f با توجه به یکی از تعریف‌های بالا می‌توان اقدام نمود. برای این منظور راه حل زیر را باید طی کنید. 

\(\forall x_1 , x_2 \in D_f,\:\: if\:\: f(x_1) =f(x_2) \rightarrow x_1  = x_2\)

⇒ \(f(x_1) =x_1 +1 =x_2 +1 =f(x_2)\) ⇒ \(x_1 =x_2\)

در نتیجه با بدست آمدن این موضوع که \( x_1 =x_2 \) توانستیم یک به یک بودن تابع f را با توجه به تعریف مورد محاسبه قرار دهیم. 

مثال ۲. در چه بازه‌ای از دامنه، تابع زیر یک به یک و در چه بازه‌ای غیر یک به یک خواهد بود؟

\(g(x) =x^2\)

برای بررسی یک به یک بودن تابع زیر دوباره از روی تعریف اقدام می‌کنیم، لذا داریم:

\(\forall x_1 , x_2 \in D_g,\:\: if\:\: g(x_1) =g(x_2) \rightarrow x_1 = x_2\)

 \(g(x_1) =x_1^2 =x_2^2 =g(x_2) ⇒ x_1 = ± x_2 \) ⇒   

اکنون با توجه به تعریف نتیجه شد، که g تابعی  یک به یک نمی‌باشد، زیرا به ازای \(g(x_1)=g(x_2)\) به جای اینکه \(x_1 = x_2\) باشد، داریم \(x_1 = x_2\). 

برای اینکه تابع g تابعی یک به یک باشد کافی است که بازه دامنه f را به گونه‌ای کوچک کنیم که شامل هر دو عضو \(± x_2\) نباشد. اکنون اگر بازه این دامنه را از \(\mathcal{R}\)  به بازه‌ی \(‎‏‎[0 , ‎+\infty‎)‎\) یا \((-‎\infty ‎, ‎0‎]‎\) تبدیل کنیم چون فقط یکی از دو مقدار \(± x_2\)  در حدود دامنه خواهد بود لذا تابع g یک به یک خواهد بود.

تمرین ۱. بررسی کنید کدامیک از توابع زیر یک به یک و کدامیک غیر یک به یک می‌باشند.

  1. \(f(x) = x^3 +2\)
  2. \(g(x) =\frac{x+1}{x+3}\)
  3. \( h(x)=x^2+x \)

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ها و سری های عددی آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ها و سری های عددی بازدید (190)
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ه...
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- انتگرالگیری ناسره آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- انتگرالگیری ناسره بازدید (244)
سوالات حل شده برای آمادگی امتحان ریاضی ع...
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل هفتم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل هفتم بازدید (729)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ بازدید (617)
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنع...
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ بازدید (884)
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریا...

فایل های تصادفی

کتاب منطق مجموعه ها اعداد، دکتر میرزاوزیری کتاب منطق مجموعه ها اعداد، دکتر میرزاوزی... بازدید (1315)
کتاب منطق مجموعه ها اعداد، دکتر میرزاوزی...
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریا... بازدید (884)
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریا...
بسته ویژه شماره یک معادلات دیفرانسیل امیرکبیر بسته ویژه شماره یک معادلات دیفرانسیل امی... بازدید (7520)
این پکیج شامل 5 نمونه سوال معادلات دیفرا...
قتل در فانوس دریایی؛ دکتر میرزاوزیری قتل در فانوس دریایی؛ دکتر میرزاوزیری... بازدید (14064)
در این داستان به ارائه‌ی کاربردی از منطق...
پاسخ تشریحی ریاضی 1 (ریاضی سال دهم)، رشته  تجربی، دبیرستان نمونه دولتی شهید احمدی روشن، تهران تاریخ 13950907 پاسخ تشریحی ریاضی 1 (ریاضی سال دهم)، رشت... بازدید (7807)
پاسخ تشریحی ریاضی 1 (ریاضی سال دهم)، رشت...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (28892)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (22121)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (21151)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (19410)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (19049)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا