تابع یک به یک، روش تشخیص، مثال و تمرین
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
تابع یک به یک: فرض کنید f تابعی از مجموعه A به مجموعه B باشد. هرگاه تصویر هر عضو از مجموعه A تنها یک عضو منحصر به فرد در مجموعه B باشد. در اینصورت تابع f را یک به یک گویند. این تعریف را میتوان با استفاده از نمادهای ریاضی به گونه زیر بیان نمود:
\(\forall a , b\in A, \:\: if\: \: f(a) =f(b)\rightarrow a=b\)
در واقع عبارت فوق بیان می‌کند، هر زمان تصویر تابع (خروجی تابع) یک به یک f در دو نقطه از دامنه مساوی باشد حتماً آن دو نقطه دارای مقدار یکسان خواهند بود.
همچنین به طور معادل میتوان عبارت زیر را داشت:
\( \forall a , b\in A, \:\: if\: \: a \neq b \rightarrow f(a) \neq f(b) \)
عبارت فوق بیان می‌کند که دو نقطه متمایز در دامنه تابع یک به یک f حتماً دارای تصاویر متمایزی در برد تابع f خواهد بود. این موضوع را میتوان به صورت تصویری زیر بیان نمود.
گاهی اوقات یک به یک بودن یک تابع را با نماد 1-1 نشان می‌دهند. در اینجا نیز میتوان بیان نمود که تصویر معکوس یک تابع یک به یک حتما یک تابع خواهد بود، زیرا به دلیل اینکه f یک تابع می‌باشد، هیچ دو زوج مرتبی از تابع مورد نظر دارای مؤلفه اول یکسان نمی‌باشند و همچنین به علت یک به یک بودن هیچکدام دارای مولفه دوم یکسان نیز نخواهند بود.
تشخیص یک به یک بودن تابع از روی نمودار: یک به یک بودن تابع را میتوان از طریق نمودار آن نیز بررسی نمود. در واقع زمانی که به ازای هر خط موازی با محور xها، نمودار تابع f تنها فقط در یک نقطه قطع گردد، در اینصورت تابع f یک به یک خواهد بود. برای مثال شکل‌های زیر را نگاه کنید. در نمودارهای \(f(x)\) و \(g(x)\) زیر، به ازای هر خطی که موازی با محور xها رسم شود (خط صورتی در نمودار f و خط نارنجی رنگ در نمودار g )، نمودار در بیش از یک نقطه قطع می‌شود.
اما در نمودار \(h(x)\) به ازای هر خطی که موازی با محور xها (خط صورتی رنگ) رسم کنیم، نمودار تابع را حداکثر در یک تقطه قطع خواهد کرد.
یادآوری تشخیص تابع بودن نمودار: هر گاه به ازای هر خط موازی با محور yها، نمودار حداکثر در یک نقطه قطع شود، آن نمودار تابع خواهد بود. در نمودارهای بالا f و h تابع هستند ولی g تابع نمی‌باشد.
مثال ۱. یک به یک بودن تابع زیر را محاسبه کنید.
\(f(x) =x+1\)
برای محاسبه یک به یک بودن تابع f با توجه به یکی از تعریف‌های بالا میتوان اقدام نمود. برای این منظور راه حل زیر را باید طی کنید.
\(\forall x_1 , x_2 \in D_f,\:\: if\:\: f(x_1) =f(x_2) \rightarrow x_1 = x_2\)
⇒ \(f(x_1) =x_1 +1 =x_2 +1 =f(x_2)\) ⇒ \(x_1 =x_2\)
در نتیجه با بدست آمدن این موضوع که \( x_1 =x_2 \) توانستیم یک به یک بودن تابع f را با توجه به تعریف مورد محاسبه قرار دهیم.
مثال ۲. در چه بازه‌ای از دامنه، تابع زیر یک به یک و در چه بازه‌ای غیر یک به یک خواهد بود؟
\(g(x) =x^2\)
برای بررسی یک به یک بودن تابع زیر دوباره از روی تعریف اقدام می‌کنیم، لذا داریم:
\(\forall x_1 , x_2 \in D_g,\:\: if\:\: g(x_1) =g(x_2) \rightarrow x_1 = x_2\)
\(g(x_1) =x_1^2 =x_2^2 =g(x_2) ⇒ x_1 = ± x_2 \) ⇒
اکنون با توجه به تعریف نتیجه شد، که g تابعی یک به یک نمی‌باشد، زیرا به ازای \(g(x_1)=g(x_2)\) به جای اینکه \(x_1 = x_2\) باشد، داریم \(x_1 = x_2\).
برای اینکه تابع g تابعی یک به یک باشد کافی است که بازه دامنه f را به گونه‌ای کوچک کنیم که شامل هر دو عضو \(± x_2\) نباشد. اکنون اگر بازه این دامنه را از \(\mathcal{R}\) به بازه‌ی \([0 , +\infty)\) یا \((-\infty , 0]\) تبدیل کنیم چون فقط یکی از دو مقدار \(± x_2\) در حدود دامنه خواهد بود لذا تابع g یک به یک خواهد بود.
تمرین ۱. بررسی کنید کدامیک از توابع زیر یک به یک و کدامیک غیر یک به یک می‌باشند.
- \(f(x) = x^3 +2\)
- \(g(x) =\frac{x+1}{x+3}\)
- \( h(x)=x^2+x \)
